[69,70] ÏIIADUCTION DES PIÈCES LATINES. 291 



10. Au reste je n'ai pas voulu m'arrèter là, mais j'ai résolu le pro- 

 blème qui est peut-être le plus beau de toute l'Arithmétique, c'est-à-dire 

 celui où l'on cherche, pour une progression quelconque, non plus 

 seulement la somme des carrés ou des cubes des termes, mais celle 

 des puissances quelconques, pour tous les degrés jusqu'à l'intini, 

 bicarrés, carrécubes, bicubes, etc.; la méthode étant aussi générale 

 que possible. 



11. Pour que M. de Sainte-Croix sache que je n'attends à cet égard 

 ni un sphinx, ni un OEdipe, voici la solution du problème pour la 

 somme des bicarrés. On peut l'énoncer comme suit sous forme de 

 théorème : 



Soient pris à partir de l'unité autant de nombres que l'on voudra 

 en progression naturelle; si l'on ajoute i au quadruple du dernier et 

 qu'on multiplie la somme par le carré du triangle qui est la somme 

 des nombres, après avoir retranché du produit la somme des carrés 

 des termes, on aura le quintuple de la somme de leurs bicarrés. 



Exemple : Soient pris les nombres i, 2, 3, 4; en ajoutant i au qua- 

 druple du dernier, on a i8, qu'il faut multiplier par loo, carré du 

 triangle somme des nombres; du produit i8ooon retranche la somme 

 des carrés des termes, c'ost-à-dire 3o. Il reste 1770, dont le cin- 

 quième, 35/|, est égal à la somme des bicarrés. 



Jeirésous de même le problème pour une progression quelconque, 

 en imitant la construction qui précède. 



Si vous ou jM. de Sainte-Croix le désirez, je vous communiquerai 

 la méthode générale pour les puissances quelconques jusqu'à l'infini. 



12. En attendant, j'ajouterai une très belle proposition que j'ai 

 trouvée et qui m'a fourni la lumière pour les questions de ce genre : 



Dans la progression naturelle, on a le double du triangle ayant 

 pour côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le nombre 

 immédiatement supérieur; on a le triple de la pyramide ayant pour 

 côté le dernier nombre, en multipliant celui-ci par le triangle du 

 nombre immédiatement supérieur; on a le quadruple du triangulo- 



