316 ŒUVRES DE FERMAT. - CORRESPONDANCE. [404,400] 



rais-je pas un semblable secours de vos éminents correspondants, 

 pourquoi, (lonon français, ne Irouvorais-je pas des Archimèdes 

 anglais? 



i" Toutes les puissances du nombre 2, ayant pour exposant un des 

 termes de la progression géométrique suivant la raison du même 

 nombre 2, donnent des nombres premiers, si on leur ajoute l'unité. 



Soil la progression géométrique snivant la raison 2, avec ses expo- 

 sants : 



1 2 3 4 5 G 7 8 



■?.. 4. 8. 16. 32. 64. 128. 256. 



T.e premier ternie 2, augmenté de l'unité, fait 3, nombre premier. 



Le second terme 4> augmenté de l'unité, fait 5, nombre premier. 



Le quatrième terme 16, augmenté de l'unité, fait 17, nombre 

 premier. 



Le huitième terme 256, augmenté de l'unité, fait 207, nombre 

 premier. 



Prenez en général toutes les puissances de 2, dont l'exposant est 

 un terme de la progression, il en sera de même. Ainsi, le seizième est 

 65 536; ajoutant i, on a 65 537, 'ï'^' est premier. De cette façon, on 

 peut déterminer et calculer sans difficulté un nombre premier plus 

 grand que tout nombre donné. 



Je demande une démonstration de cette proposition, qui est certai- 

 nement très belle, que je crois très vraie, et grâce à laquelle on peut, 

 comme je viens de le dire, résoudre immédiatement un problème 

 autrement très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, 

 trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela donnera peut- 

 être à vos éminents correspondants la clef pour pénétrer tout le mys- 

 tère des nombres premiers, c'est-à-dire étant donné un nombre quel- 

 conque, reconnaître, par la voie la plus facile et la plus courte, s'il 

 est premier ou composé. 



2" Le double de tout nombre premier, de la forme Sw — i, est 

 somme de trois carrés. 



Soil un nombre premier quelconque de la forme 8« — i, comme 7, 



