TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 327 



« Le subtil et savant analyste Bachet a distingué assez heureuse- 

 ment, à propos de la question VI, 24 de Diophante, les divers modes 

 et cas de l'équation double; cependant il n'a pas moissonné tout le 

 champ ouvert devant lui; en effet, rien n'empêche de donner des solu- 

 tions en nombre indéfini pour les problèmes auxquels il n'en trouve 

 (ju'une ou deux tout au plus. Bien plus, il est aisé d'accomplir ce pro- 

 grès et d'obtenir ce résultat par une opération facile. 



» Soit proposé le sixième mode qu'il détaille assez prolixemonl 

 pages 4^9 et 44" ; tous les cas qu'il a énumérés ('), grâce au pro- 

 cédé que je vais indiquer, sont susceptibles d'une infinité de solu- 

 tions qui dérivent successivement de la première, si l'on réitère indé- 

 finiment la même analyse. 



» Voici ce procédé : Cherchez la solution de la question proposée, 

 selon la méthode ordinaire, c'est-à-dire celle de Bachet ou de Dio- 

 phante; ayant ainsi obtenu une valeur numérique de l'inconnue, re- 

 commencez l'analyse, en prenant, pour valeur de la nouvelle inconnue, 

 X plus le nombre trouvé précédemment comme solution. Le problème 

 se trouvera ainsi ramené à une nouvelle équation double dans laquelle 

 les termes indépendants de x se trouveront carrés, en vertu de l'emploi 

 de la première solution; par suite la différence entre les deux expres- 

 sions se trouvera composée seulement de termes en x'- et en x, c'est- 

 à-dire de degrés consécutifs; cette nouvelle équation double pourra 

 donc se résoudre d'après la méthode de Diophante ou de Bachet. La 

 seconde solution ainsi obtenue permettra, par le même artifice, d'en 

 calculer une troisième, celle-ci une quatrième, et ainsi de suite indé- 

 finiment. 



» Cette remarque, qui a échappé à Diophante, à Bachet et même ;i 

 Viète, comble la plus grave lacune que présente actuellement l'ana- 

 lyse de ces questions. Mais le principal intérêt de ma découverte res- 



(' ) Le sixième mode de Bachet correspond à l'ensemble des différents cas pour lesquei!; 

 il obtient une solution de l'équation double sous sa forme générale : 



□ , n'j:-4- //.r + c'= □ . 



