310 ŒUVRES DE FERMAT. 



ne fut arrivé à délier le nœud gordien. Celui qui accuserait cette mé- 

 thode d'inutilité peut au reste voir la solution de divers problèmes 

 donnés ci-dessous n°* 45, 47, 48, 50. Il est d'ailleurs facile de recon- 

 naître comment on doit former les facteurs en question; il suffît en 

 oITet de prendre le double de la racine du coefficient de x- dans la 

 plus grande des deux expressions, et de partager ce double en deux 

 nombres dont le produit fasse la ditrércnce des coefficients de x'-. 

 Ainsi dans le premier exemple on prend lo; on le partage en deux 

 nombres dont le produit est i6. On trouve ainsi Set 2; de même pour 

 les autres cas. 



Après que l'Analyse a trouvé les solutions primitives, on en obtient 

 de nouvelles en réitérant l'opération. 



24. 11 arrive assez souvent que dans un problème le calcul conduise 

 à de faux nombres; j'ai déjà montré ci-dessus comment l'artifice ana- 

 lytique de Fermât remédie îi cet inconvénient, mais je vais donner 

 aussi un moyen singulier dont les résultats sont innombrables : ce 

 moyen c'est l'opération réitérée; toutefois, pour qu'elle aboutisse, il 

 faut emprunter à Tx^nalyse les nombres primitifs à prendre dans la 

 seconde opération. 



25. Soit, par exemple, à chercher un triangle rectangle dont l'hy- 

 poténuse soit un carré, aussi bien que la somme des côtés de l'angle 

 droit. Je forme ce triangle des nombres simples x + i dix; les trois 

 côtés seront dès lors : ix- -1- 2a? h- i, 2a; + i, ix- -\- ix. Il faut égaler 

 à des carrés, d'une part l'hypoténuse 237-+ 20^+1; de l'autre, la 

 somme des côtés de l'angle droit : ix'^ + [\x-\-\. La méthode ordi- 

 naire donne la valeur a; = -■ Les deux nombres générateurs du 



triansle seront donc et -, ou, si l'on prend les numérateurs 



seulement, pour avoir des entiers, — 5 et — 12, d'où le triangle : 

 169. 1 19.120. J'infère de là que, pour résoudre le problème, il fallait 

 d'abord trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse fût un carré. 



