3i2 ŒUVRES DE FERMAT. 



roquation x^ -+- [\x^ -\- 6j?* + 6a; -t- 2 = a, qui devient par cette sub- 



3 5 I / 1 \^ 



stitiition x'' -\- 2J7'+ -x'^ -^ -x -\ — tt = D, soit ( y -\-Sx — x^\ ; d'où 



2 2 10 \ i / 



2o I ■ I '7 



x= — • En retranchant -> j'ai — pour la valeur de l'inconnue dans 

 12 2 •' 12 1 



les premières positions, d'après lesquelles j'aurai en conséquence à 



former le triangle des nombres entiers 29 et 12. 



27. Soit entin à chercher un triangle rectangle dont l'hypoténuse 

 soit un carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit. 

 Si je prends les nombres j? -1- i et i pour générateurs du triangle, les 

 côtés seront : x^ + ix + 1; x"^ -\- ix; ix + 1. Retranchez le dernier 

 IX -\- 7. du moyen x- + ix; j'ai la différence : x- — 1 qui doit être 

 égalée à un carré, aussi bien que l'hypoténuse x- -\- q.x -\- 1. Cette 



double équation me donne x = -— —; par suite, d'après les positions, 



5 

 les nombres générateurs du triangle seront et i, ou, en faisant 



disparaître le dénominateur, — 5 et -1-12. On pourrait réitérer l'opé- 

 ration pour trouver le triangle demandé, mais on remarquera qu'il est 

 immédiatement fourni par la formation de 5 et 12. On a en effet ainsi 

 le triangle rectangle 169. 1 19.120 dans lequel l'hypoténuse est un 

 carré, aussi bien que la différence des côtés de l'angle droit. 



Kachet trouve une impossibilité là où Fermât donne une solution facile. 



28. Je dois avouer qu'à la vérité la méthode ordinaire donne une 

 infinité de solutions pour nombre de questions, quand, par exemple, 

 dans la double équation, les expressions sont formées de termes en x 

 ditrérents et d'un même terme connu carré; il est aisé, en effet, dans 

 ce cas de trouver autant de solutions que l'on veut; c'est pourquoi 

 Bachet, dans ses remarques sur Diophante, VI, 24, après avoir donné 

 une solution unique par son second mode de solution des doubles 

 équations, en fournit une infinité par son quatrième mode. Mais il y a 

 d'autres doubles équations moins maniables pour lesquelles les mé- 



I 



