TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 343 



thodes ordinaires ne fournissent qu'une solution ou deux au plus; et 

 par suite, le célèbre commentateur de Diophante dit, au même endroit, 

 qu'on ne peut obtenir qu'une solution unique lorsque les expres- 

 sions sont composées de trois termes et que leur différence n'en com- 

 porte qu'un seul; ou bien lorsque les expressions sont formées l'une 

 de trois termes, l'autre de deux seulement, le terme carré étant d'ail- 

 leurs le même de part et d'autre; ou enfin lorsque les expressions 

 sont seulement formées de deux ternies, l'une d'un terme en x- et 

 d'un connu, l'autre d'un terme en x et d'un connu; il ajoute encore 

 qu'il y a deux solutions lorsque les coefficients de x- et les termes 

 connus sont des carrés. Tout en respectant ce grand mathématicien, je 

 puis dire que dans tous les cas qu'il a ainsi énumérés la méthode de 

 Fermât procure une infinité de solutions; les exemples suivants vont 

 le faire voir clairement. 



29". Soit tout d'abord la double équation 



j?-H-3x-<-7=n, x''— 5,r-f-7 = n. 



La difTérence des expressions ne comprend qu'un seul terme, Sx; et 

 l'on trouve x = ?t. Bachet, avec sa méthode, chercherait inutilement 

 une autre solution. Mais qu'on substitue x-\-3'à x, les expressions 

 transformées deviennent x- -\- gx -\- 23 et x--\-x-\-i; les fermes 

 connus étant carrés, on peut toujours résoudre cette double équa- 

 tion; si l'on rencontre de faux nombres, il n'y a pas à s'en effrayer, 

 car j'ai déjà donné plus haut le moyen d'en déduire des vrais. 



30. Comme second exemple, je prendrai la double équation 



OÙ il n'y a que deux termes dans la seconde expression, et que Bachel 



5 . 5 



a résolue en donnant la valeur unique : x = y Substituez x -h j h x; 



14 4 



les expressions transformées sont ^x- -+- gx -+- 1 et 4^^ + 2.5x -+- id ; 



les termes connus étant carrés, on peut trouver une seconde solution 



42o5 

 qui sera -,t7- 

 ' i344 



