3V8 ŒUVRES DE FERMAT. 



Fermai dépasse Diophante sur nombre de points. 



38. Diophante, V, 8, donne le moyen de trouver trois triangles rec- 

 tangles dont l'aire soit égale; mais, si l'on en demande davantage, il 

 peut d'autant moins satisfaire à la question, qu'il n'a jamais indiqué 

 le procédé pour trouver un triangle rectangle de même aire qu'un 

 triangle rectangle donné. Fermât résout ces deux problèmes par une 

 même opération. Soit, par exemple, à trouver un triangle rectangle 

 dont l'aire soit 6, comme celle du triangle rectangle 3.4-5. Soit 3 un 

 des côtés d'un certain triangle rectangle; x-\-'\ l'autre côté; la somme 

 des carrés de ces côtés donne a;- + 8a; 4-20 pour le carré de l'hypoté- 

 nuse; cette expression doit donc être égalée à un carré. D'autre part, 



3 

 l'aire de ce triangle, -x-\-Çt, doit être 6 fois un certain carré (puisque 



l'on demande que l'aire soit 6). Donc le sixième de l'aire ci-dessus 

 doit faire un carré, et il en doit être de même du produit de ce 

 sixième par 36. On doit donc égaler à un carré ç)x -+- 36. On a ainsi 

 une double équation 



o-'-l- 8 a; + 25 r= □, gx-t-Sô^D, 



où les termes connus sont carrés; on trouvera donc facilement pour r 



, , 60 53o 4oo ,, , , 2896804 ,, , -.II- 1 



la valeur ^^ — -, — > d ou x + 4 = ,'c ^. — ; 1 autre cote de I anarie 



21000409 2 4o5 bol " 



droit est 3; la somme des carrés de ces côtés fait un carré dont la 



racine sera l'hypoténuse, ,\ t — ; nous avons ainsi le triangle rec- 

 •'1 2 4o5 6oi ° 



I 7776485 2896804 o 1 . p • 1 . I Jt . ■ 



tangle , . ,. rV,^ — 3, dont I aire sera le sextuple d un certain 



2403 001 2400001 ' 



, , . 724 201 ,, , . , S5i T^- • .» 



carre, a savoir , - ^ — > dont la racine est -^^-- Divisons par cette 



2 400 001 IDOI ^ 



racine chacun des côtés du triangle rectangle que nous venons de 



, , . , , 1 , 12 061 828 ? 35 4'!iQ2q43oo4 4 653 



trouver, nous aurons le triangle cherche — -, — -r-r-r- ; \.g ,. — 0^^ • 



" 2o47ib64t)i 2047166451 Soi 



dont l'aire est 6. On remarquera que nous avons trouvé ce triangle en 



partant du triangle donné 3.4-5; mais celui que nous avons trouvé 



