TRADUCTION DE L'INVENTUM NOVUM. 3al 



nombre, fasse également un carré. D'où l'équation double 



I — 2 X = G . I — 4 -^ -1- 2 .!■-=□ , 



, , 1 , . 5 333 24o 

 et la solution ^ — = — i-- 

 39 loo 049 



Enfin le troisième exemple (n" 12), celui de l'équation double 



Sx^-h i6j: + 4 = G > 2j;--(- 4j" + 4 = a , 



peut être proposé comme suit en problème : Trouver un nombre tel 

 qu'en le multipliant par 16, ajoutant 8 fois son carré et le nombre 4. 

 on ait un carré, et que d'autre part, son quadruple, augmenté du 

 double de son carré et en plus du nombre 4, fasse un carré. 



La solution sera — • 



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J'omets les autres exemples pour aborder quelques autres questions 

 plus brillantes. 



Trouver indéfiniment deux nombres tels qu'en retranchant leur produit 

 soit de l'un quelconque des deux, soit de leur somme, soit de leur dif- 

 férence, on ait toujours un carré. 



42. Soient a; et i — j; ces deux nombres, positions qui satisfont aux 

 deux premières conditions; reste à satisfaire également aux deux der- 

 nières. Je suppose que x soit le plus petit des deux nombres; si l'on 

 retranebc leur produit, x — x-, de leur différence i — ix, on a pour 

 reste : x'- — 'ix -\- i. Si l'on retranche le produit des deux nombres de 



leur somme, i, on a d'autre part le reste x- — x-Jr-i. En égalant les 



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 deux restes à des carrés, on a par la méthode ordinaire : a; = 5; les 



3 5 

 deux nombres cherchés seront donc k et ô- Je substitue maintenant 



o o 



X- -I- g à a; dans les expressions des deux restes ci-dessus ; les transfor- 

 mées seront 



4 04 4 04 



Comme les termes connus y sont carrés, on peut trouver, pour ces 



