354. ŒUVRES DE FERMAT. 



Fermât Fa d'ailleurs proposé à nombre de savants mathématiciens 

 sans qu'il ait été résolu par eux. On partira du triangle primitif 

 trouvé ci-dessus (n°25), à savoir: 169.119. 120, qui est formé des 

 nombres 5 et 12. Si l'on forme un nouveau triangle avec les nombres 

 .r + 5 eài2, il aura pour côtés : j;- + ioj; + 169, o;^ + ioj:; — 119, 

 24^7 4- 120. Or il faut égaler à des carrés tant l'hypoténuse : 

 .T--h loa; + 1G9, que la somme des côtés de l'angle droit : 0^^ + 34^ + 1 • 

 Si l'on multiplie cette dernière somme par 169, la double équation 



sera 



lôgx'-t- 5746 .r + i69^=n, x-+ lox -h lôg^O; 



c'est celle qui a été traitée au n" 22. On a donc x— — "^.^j ; d'où, 

 ^ 20 obb 



d'après les positions prises pour les deux nombres générateurs, on 

 aura le triangle cherché 



4687298610389. 4565486027761. 1061602293520, 



dont l'hypoténuse est un carré, aussi bien que la somme des côtés de 

 l'angle droit. Dès lors les deux côtés de l'angle droit sont deux nombres 

 dont la somme est un carré et dont la somme des carrés est un bi- 

 carré, c. 0. F. T. 



Trouver un triangle rectangle tel qu'un côté de l'angle droit soit un carré 

 et qu'en y ajoutant un multiple donné de l'autre côté de l'angle droit, 

 on ait encore un carré. , 



46. Soit 3 le multiplicateur donné. Formons le triangle des nombres 

 a; -I- I ot I ;Ses côtés seront : a;- + 2a: -1- 2, x--h ix, 2x -+- 1. Multi- 

 plions ce dernier côté par 3 et ajoutons le produit, 6a; + 6, au côté 

 intermédiaire; il vient .x--+-8a; + 6 qui doit être un carré, en même 

 temps que le côté intermédiaire : a;--i-2a;. En résolvant la double 

 équation à la manière ordinaire, on trouvera x = — > et, d'après les 

 positions, le triangle cherché sera, en nombres entiers : 3i3. 25.3i2. 



