:}8i ŒUVRES DE FERMAT. 



21. Enfin, la dernière solution primitive conduira à la substitution 



de .r -] — ^> et en égalant la transformée de l'équation proposée a un 



carré, dont on formera diversement les racines, comme on l'a fait pour 

 les précédentes, on obtiendra de même de nouvelles solutions. 



Obtenir les solutions dérivées du second degré, celles du troisième, 

 du quatrième, etc. à l'infini. 



22. De même que les solutions primitives nous ont fourni des solu- 

 (ions dérivées du premier degré, de même les dérivées du premier 

 degré peuvent nous fournir des dérivées du second degré. Ainsi, 



puisque nous avons - comme solution dérivée du premier degré, nous 

 substituerons x -\ — k x dans l'expression proposée 



œ'' -^ 4*'' + io.r-+ 20.r -i- i; 

 le résultat de cette substitution sera x'' -+- ûx^ + —x'-^ — ~x -^ — =r • 



a 2 10 



j-' -h 3 .r + -^ ) > et nous obtiendrons 



ainsi la solution — '^--^ qui est dérivée du second degré, puisqu'elle 

 provient d'une solution dérivée du premier degré. 



23. De cette solution du second degré nous pouvons en dériver 

 encore une autre, toujours par le même procédé. A cet effet, on substi- 

 tuera X — — '^A X dans l'expression proposée; le résultat de cette sub- 



stitution est x^ — ô\5x^ h -^x- ^ x h ^;-^: on 1 égalera au 



367 \^ . , 873 , , 



carre | x- — ïÇ)x ~- i > ce qui donnera -/^^ comme valeur de x\ en 



21 

 2 



retranchant — > on aura, comme valeur correspondante dans l'expres- 

 sion proposée, -^j solution dérivée qui est du troisième degré, puis- 

 qu'elle provient d'une solution dérivée du second degré. On pourra de 

 même obtenir des solutions dérivées du quatrième degré, du cin- 

 <}uiême, du sixième, et ainsi de suite indéfiniment. 



