388 ŒUVRES DE FERMAT. 



un motif semblable on ne peut égaler à un cube l'une ou l'autre des 



expressions 



x^ — 3j"- — Sx — I, x' — Sx^-t-Sx + i. 



L'équation se réduit toujours à celle d'un seul terme au zéro. 



Douze questions sur ce qui a été enseigné dans cette troisième Partie. 



31. Ce que j'ai dit jusqu'à présent fournit une riche matière, d'où 

 l'on peut, comme d'une mine d'or, tirer un trésor de problèmes sans 

 fin. Ainsi on peut demander un nombre tel qu'en le prenant 20 fois, 

 ajoutant 10 fois son carré, 4 lois son cube et enfin l'unité, on ait un 

 carré. Si l'on demande en outre que ce nombre soit plus grand que 8 et 

 plus petit que 10, il faudra nécessairement, d'après ce qu'on a vu plus 

 haut (n° 23), partir de la solution primitive — 3, en dériver une autre 



du premier degré : -; puis une du second degré : ; enfin celle du 



troisième : ^) qui satisfait à toutes les conditions proposées. Mais ce 

 sont d'autres questions que je veux résoudre ici. 



Trouver en nombres rationels entiers un triangle rectangle, tel que 

 son hypoténuse soit un carré, aussi bien que la so/nrne des côtés de 

 l'angle droit. 



32. J'ai- déjà (première Partie, n° 45) résolu ce problème par la 

 double équation; mais comme il peut être abordé également au moyen 

 d'une expression composée de cinq termes, je vais le traiter de cette 

 seconde manière. D'après ce que j'ai dit à l'endroit précité, je forme 

 le triangle des nombres a? 4- 5 et 12; les côtés sont par suite : 



57^-1- 10. r -H 169, ;r^+iox— 119, 2\x -h 120. 



L'hypoténuse : a;-+ loa; -h 169 et la somme des côtés de l'angle 

 droit : x^ -+- 3/iX -+- 1 doivent être des carrés ; < le produit de ces deux 

 expressions, soit a;^ + 44^' ■+- Sjox- -+- B-j^Gx -+- 169, doit donc être 



