TRADUCTION DE LINVENTUM NOVUM. 395 



Je l'égale au carré (.r- -^ ix -\- 4)" = x'' -\- ^x^ -h 120;-+ iGj; + 16; il 



vient j'= — -. 

 2 



3 , 

 Je substituerai, par suite, x 'kx dans l'expression 



x'' + !\ x^ + 12 x"- -\r % X -{- !\\ 



la transformée est a;'— ix^ -\ x- — —x^ — et je l'égalerai au 



2 2 16 •' " 



carré i^ ^x 4- x-\ ; l'équation me donne a- = — ; si j'en retranche 



> j'ai —. pour valeur de x dans les premières positions. Par consé- 

 quent, en nombres entiers a; -1- i et i deviennent, si je chasse les déno- 

 minateurs 29 et 2G qui engendrent le premier triangle cherché iSiy, 

 i6.5, i5o8. On en déduira le second : 1.52.5, i5i7, i56. 



On peut arriver autrement ;i la solution en partant de la valeur 



3 

 .r ^ - — trouvée en premier lieu. Si on la substitue dans les expres- 

 sions .r -+- I et I, on aura en entiers : — i et 2. On prendra dès lors 

 comme nombres générateurs j; — r et 2 et l'on recommencera l'opéra- 

 tion. Les côtés du premier triangle seront a:-- — ix -1- 5; x- — 20- — 3; 

 [\x — 4; les côtés de l'angle droit du second : x- — ix ^ 5; l\x — 12, 

 la somme des carrés de ces derniers fera x" — 'iX^ ^'iox- — i rGj--i-i()f) 



l't on l'égalera au carré ( i3 ijX-\-x'-\ ; d'où x z= - ■ Dès lors, en 



entiers, x — i et i deviennent 29 et 26. c'est-à-dire les nombres trou- 

 vés i-i-dessus et conduisant aux mêmes triangles. 



Trouver un triangle rectangle dont l'hypoténuse soit un carré, et tel que 

 la somme de l'un des côtés de l'angle droit et d'un multiple donné de 

 l'autre calé soit également un carré. 



40. Soit 2 le multiplicateur donné. Formons le triangle cherché des 

 nombres j" et 1; les côtés seront j'^ + i. x^ — i, 2x; ajoutons /^x, 

 double du dernier coté, au premiei' côté de l'angle droit; il vient 

 x'- -h 4j? -' I qui doit être un carré aussi bien que l'hypoténuse ir-+ i. 



