COMMERCIUM DE WALLIS. 433 



carré, on aurait deux nombres carrés entiers qui ne différeraient que 

 (le l'unité, ce qu'on sait être absolument impossible. 



Dans le cas où la chose est possible, nos règles donnent non pas 

 les seuls, mais cependant tous les carrés entiers. Elles donnent en 

 effet tous les carrés demandés possibles, tant entiers que fraction- 

 naires. Pour ne pas paraître parler au hasard, je vais le démontrer. 



Soit/- un carré quelconque satisfaisant à la condition proposée; 

 on aura nf- + i égal à un carré, soit /-. 



Prenons maintenant /== -—ï^' je dis que/- sera jl> que donne la 



règle ci-dessus exposée. On a en effet : q ~ r- 



r- 



Maii 



nf- + I = /-. Donc /- — i =^ nj- et n — 



t'ziZ2l-hJ 



d=\g 



f- 



P 



r 



Par conséquent, 



2/ qz 2 



1 1 ^I 2 



et par suite, comme ir = — . > 



2 / rp 2 



il— 



P 



=f-- 



2/- 

 -d' 



OU l)icii /' 





Ainsi la règle précitée fournit le carré /-, c'esl-à-dire un carré 

 quelconque satisfaisant à la condition proposée. 



(La démonstration se ferait de même, mutalismutandis, pour l'autre 

 règle.) 



La règle précitée fournit donc une infinité de nombres carrés satis- 

 faisant à la condition proposée et d'ailleurs, dans le cas où la chose 

 est possible (c'est-à-dire si le nombre donné est non-carré), une infi- 

 nité de carrés entiers. 



Il faut, de plus, que -~ =p soit entier et il faut fournir une infi- 

 nité de tels carrés. 



Pour cela, parmi le nombre infini que donne la règle, on choisira 

 arbitrairement un carré entier quelconque, satisfaisant à la condition 



FivniUT. — m. 55 



