COMMERCIUM DE WALLIS. 433 



proposer sous une troisième forme? demandera-t-il que les carrés 

 entiers satisfaisant à la condition soient fournis, non pas seulement 

 en nombre infini, mais absolument tous? Cela, nous pouvons également 

 le faire. 



Qu'il en soit d'ailleurs ainsi que je l'ai dit, pour ne pas parler vai- 

 nement, je vais le démontrer. 



Il a déjà été prouvé que -|- satisfait à la condition ; reste donc à faire 



que -j7 = f- soit un nombre entier, par suite que sa racine 



/ 



soit un nombre entier, ou autrement, que d =\n — q\ soit une partie 

 aliquote du nombre ar. 



Or il peut se faire que 2r, et dès lors ^q, ne soit pas entier; substi- 

 tuons donc à a, -^i et à r, -• Nous aurons 



f- 



ir 



a 



1 - 

 e 



I a- — në- 



Ainsi,y'sera un nombre entier toutes les fois que | a^ — ne- \ sera une 

 partie aliquote du nombre lac; en d'autres termes, toutes les fois 

 que la différence entre un carré et le produit d'un autre carré par le 

 nombre donné sera partie aliquote du double produit des racines <le 

 ces carrés. 



Or ceci peut arriver de mille manières différentes, mais a évidem- 

 ment toujours lieu en particulier, si cette différence est i ou 2; car i 

 est partie aliquote de tout nombre entier, et 2 l'est du nombre lae. 



C'est ce qui arrive évidemment dans notre cas. Puisqu'en effet, sui- 

 vant la condition exigée, nf' + i = /-, la différence /- — nf- sera i; 

 si donc par cette différence on divise 2//, le quotient sera le nombre 

 entier 2//, et ce sera par suite un nouveau nombre/ satisfaisant à la 

 condition. Et ainsi de suite indéfiniment. c. q. f. d. 



Je crois superflu d'en dire plus long sur cette question, quoique 

 j'aurais beaucoup de choses prêtes à ajouter; mais je crains déjà de 

 m'ètre trop étendu. 



