158 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



nature. Néanmoins, j'ai cru devoir admettre ce changement et aborder 

 la question en nombres entiers. Voici le résultat : 



J'ai jugé devoir partir de la règle générale précédemment énoncée. 

 A savoir, si nous appelons « un nombre donné quelconque (carré ou 

 non carré, entier ou fractionnaire); q un carré quelconque; d sa dif- 

 férence avec ii; ^ sera un carré requis. Nous avons déjii démontré 



antérieurement que non seulement cette règle est vraie et donne une 



infinité de carrés satisfaisant à la condition, mais encore qu'elle 



donne absolument tous les possibles tant entiers que fractionnaires. 



Cela posé, pour la nouvelle condition ajoutée, il suffît de faire que 



~i et par conséquent sa racine ^, soit un nombre entier, ou autre- 

 ment que d soit une partie aliquote du nombre 2R. Toutes les fois, en 

 elfet, qu'il en est ainsi, le carré fourni par la règle est évidemment un 

 nombre entier. 



Or, ayant un entier de ce genre, une méthode sûre en donne aussi- 

 tôt une infinité d'autres, pour ne pas dire tous; ce qui sera exposé 



plus loin. Cependant, comme il peut se faire, ce qu'il ne faut pas 



2R 



dissimuler, que 2R soit un nombre fractionnaire, même quand --r est 



entier, nous poserons 



R 



et, par conséquent, 



l = Ti^ 



et aussi 



d ^=:\f] — /i I = 



— — n 



Ainsi ce sera la même chose de diviser soit 2R par d, soit — par 



— — > ou, en multipliant de part et d'autre par r-, 2.yrpar \nr^ — s-\. 



Par conséquent, si, d'une manière quelconque, on trouve, entre le 

 produit du nombre n proposé par un carré quelconque et un autre 

 carré, une différence qui soit une partie aliquote du double produit 

 des racines de ces deux carrés (c'est-à-dire si | ur- — s- \ est partie ali- 

 quote du nombre isr), le quotient de ce double produit par cette dif- 

 férence donne un nombre entier, racine du carré cherché. 



