Wi ŒUVRES DE FERMAT.- TRADUCTIONS. 



J'avais pensé notamment à indiquer une autre méthode abrégée. Il 

 s'agit de montrer comment nous pourrions poursuivre par sauts l'in- 

 vestigation dont j'ai parlé, ce qui peut être utile, quand elle traîne en 

 longueur, comme cela arrive parfois; de la sorte il ne serait pas même 

 besoin, en certains cas, d'examiner une ligne sur loo'. Mais cela ne 

 me parait pas nécessaire, et je ne dois pas en mettre trop; ou bien, 

 si vous désirez que je traite aussi ce point, ce sera pour une autre 

 fois. 



Désormais, ayant longuement exposé la méthode de recherche d'un 

 carré quelconque propre à notre objet, c'est-à-dire tel que son pro- 

 duit par un nombre donné, étant augmenté d'une unité, fasse un 

 carré, il reste à montrer comment nous en fournirons ensuite une 

 infinité de même espèce, pour ne pas dire tous les possibles. Là- 

 dessus je serai aussi rapide que possible, car je n'ai pas à être pro- 

 lixe, en vous exposant ce qui est de vous. 



Comme je l'ai déjà dit plus haut, toutes les fois que la différence 

 \nr^ — s-\ est une partie aliquote du double produit ^rs, le quotient 

 de ce dernier par cette différence sera la racine d'un carré satisfaisant 

 à la question. 



Soit donc déjà connu (par la recherche ci-dessus développée) un 

 carré quelconque satisfaisant à la question et que nous désignerons 

 par r-. Puisque dès lors, par hypothèse, nr- -h- 1 est un carré, soit ^'- 

 ce dernier. On a donc 



«/•-+!=: 5-, d'où \ nr^ — i-|^i. 



Comme i divise tout nombre entier, il est clair que cette diffé- 

 rence, \nr- — s-l = 1, divise le double produit 2rs; etle quolientrésul- 

 tant de cette division sera la racine d'un second carré satisfaisant à la 

 question. Grâce à ce second, on en déduira de la même façon un troi- 

 sième; de celui-ci un autre, et ainsi de suite à l'infini. 



Toutefois, si cette solution satisfait largement à la question, de 

 fournir une infinité de carrés de l'espèce, elle ne donne pas absolu- 

 ment tous les possibles. 



