488 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



qui a passé tout cela sous silence (quoique ce semble être la princi- 

 pale partie du prohlème); qui n'a donné aucune démonstration de 

 tlicurcme, ni aucune construction de problème se rapportant à ces 

 carrés à fournir en nombre infini; or nous avons donné et démon- 

 stration et construction. 



De même nous avons montré comment, dans l'infinité des nombres 

 carrés que donnent nos règles ci-dessus, nous distinguons les entiers 

 des fractionnaires. 



En effet, toutes les fois que -— est un nombre entier, c'est-à-dire 



toutes les fois que d- est une partie aliquote du nombre 4y. et dès 

 lors en prenant les racines, d ou \q — n\ une partie aliquote du 



nombre 2R, ou encore, si l'on pose y = ^ et R = -' puisqu'il peut 



se faire que (/ et R soient des nombres fractionnaires, toutes les fois 



que 



s- 



n r, 



/ - 



est une partie aliquote du nombre -J-> ou, en multipliant 



de part et d'autre par r"-, toutes les fois que la différence \nr- — s'^\ est 

 une partie aliquote du double rectangle irs\ toutes les fois, disais-je, 

 que cela arrive, le carré donné par la règle énoncée est un nombre 



entier, dont la racine est 1 — ^ — ^• 



\nr-—s-\ 



Or ceci a lieu de diverses façons et en particulier de la suivante : 

 I nr- — s- 1, différence entre le produit par le nombre donné d'un carré 

 quelconque et un autre carré quelconque, sera soit i, soit 2. Car i 

 divise tout nombre entier et 2 tout nombre pair, tel que 1rs. 



Et cette seule règle renferme l'ensemble de tout ce qu'a donné 

 là-dessus M. Frenicle. Car le nombre de la quatrième colonne de sa 

 Table est précisément le nombre r, puisque son carré, multiplié par 

 le nombre n, diffère en plus ou en moins d'avec un autre carré (qui 

 sera s^^, soit de 1 ou de 2, soit au moins d'une partie aliquote du 

 nombre irs. Ainsi trouver le nombre de sa quatrième colonne, c'est 

 justement trouver notre nombre r; or il n'enseigne nulle part com- 

 ment on peut le faire et il laisse ainsi toute la question non résolue; 

 il ne donne que des exemples sur les nombres particuliers non carrés 



