4.90 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



LETTRE XIX. 



John Wai.lis a Vicomte Rrounckkr. 



Voici, très illustre Seigneur, ce que je pense sur la seconde méthode 

 de l'induction à instituer, méthode que je crois devoir développer un 

 peu plus longuement que je ne l'ai déjà fait {voir l'Appendice à la 

 Lettre XVII). Ce n'est pas que vous n'ayez suffisamment saisi mes 

 brèves indications (un mot vous aurait suffi); mais puisque la chose 

 doit être soumise à d'autres yeux, qui peuvent être moins familiers 

 avec ces questions, je crois utile, et il me semble que vous-même le 

 réclamez, de donner une explication un peu plus développée. 



Je reprends donc le même exemple qu'auparavant : étant donné un 

 nombre non carré n = i3, dont le produit par un carré a^ doit être 

 inférieur à un carré d'une unité, il s'agit de trouver ce carré a-. 



Puisque, par hypothèse, i3a^-f-i est un carré entier (le problème 

 étant désormais posé pour des nombres entiers), il est clair que ce 

 carré doit être inférieur à (4a)'=i6a^, supérieur à (3a)- = 90^ 

 Si en effet a est enti.er, on a évidemment 



i6rt->i3«2+i>9a-. 



Soit donc ce carré ou bien (3a -i- b)'- ou bien (4« — b)'-, en sorte que 

 b soit la différence de la racine du carré cherché avec celle du carré 

 immédiatement supérieur ou inférieur. 



Il est indifférent de prendre l'une ou l'autre expression; choisis- 

 sons la première. 



Ainsi 



1 3 a- H- 1 =: ( 3 « H- 6 )- = 9 rt- + 6 «6 + 6- 



et, supprimant de part et d'autre les termes égaux, 



4a-+ I = &ab -\- b^. 



Cela posé, il est évident que la quantité h est inférieure à «, supé- 

 rieure à -a, c'est-à-dire que 



ib> a> b. 



à 



