COMMERCIUM DE WALLI8. 493 



réduit à i) qui sera une partie aliquote de la précédente. C'est tout de 

 même ainsi que, dans la réduction des fractions à leur plus simple 

 expression, c'est-à-dire dans la recherche du plus grand commun divi- 

 seur, suivant la proposition VII, 2 des Éléments d'Euclide, en divisant 

 successivement les diviseurs par les restes, on arrive au même résultat; 

 cette recherche est, en effet, tout à fait voisine de celle dont il s'agit 

 ici. Dès qu'on sera arrivé à ce point, au lieu de limites comme 



lf>e>&f, 



on aura une égalité. Ainsi dans l'exemple proposé, lorsqu'on arrive à 



si l'on prend h = ii, car h est évidemment, d'après cette équation, 

 supérieur à i, 



4/(/+ 3j2-f- I = 8r-h 3i-+ I = I W-^-H I = {3/i = ) =: I2{% 



équation qui peut évidemment avoir lieu, si l'on pose t = i. La valeur 

 du nombre i est ainsi déterminée. En revenant sur nos pas, on en 

 déduira la valeur des différences h, g, f, e, d, c, h, et enfin de a= i8o, 

 racine du carré qu'on se proposait de chercher. 



Ceci doit suffire pour expliquer la forme du procédé. 



Il est facile de conclure de là la vérité du théorème : Etant donné 

 un nombre quelconque non carré, on peut déterminer un certain 

 carré, dont le produit par ce nombre, étant augmenté de l'unité, fasse 

 un carré, et l'on déduira de là une infinité de tels carrés, comme nous 

 l'avons antérieurement démontré (XVI). Mais cela est vrai, non pas 

 seulement si l'augmentation est d'une unité, ainsi que l'énonce Fer- 

 mat, mais si elle est d'un nombre carré quelconque, comme nous 

 l'avons d'ailleurs prouvé antérieurement. Car, de même que, par 

 exemple, en proposant d'égaler à un carré i3a-+i, on arrive à 

 I W-+ 1 = I2J-, d'où i- ~i; si l'on avait posé tout d'abord i3a-+ g, 

 on serait arrivé à 1 1 r 4- g = i2r, d'où i- = 9, et l'on calculerait à^ 

 par rétrogradation, comme ci-dessus. De même, pour tout autre carré 

 ajouté au lieu de i ou de 9. 



