COMMERCIUM DE WALLIS. 49o 



choisir la position à laquelle correspond la moindre valeur de c. Et 

 puisqu'ici a est évidemment plus voisin de h que de ib, on posera 

 avec plus d'avantage 



a^b + c que a^ib — c. 



Il faut entendre la même chose pour les autres difîérences d, e, f, etc. 



La raison en est toujours la même; il s'agit de ramener à l'unité ces 

 différences b, c, d, etc., toujours décroissantes. On y arrivera plus 

 vite, en prenant toujours les plus petites différences et non les plus 

 grandes. Ce qui peut s'appliquer aussi à la méthode connue de réduc- 

 tion des fractions à leur plus simple expression par la recherche du 

 plus grand commun diviseur. Cette remarque se présente d'elle-même, 

 si l'on fait la moindre attention, quoique je ne croie pas qu'on ait cou- 

 tume de s'y conformer. 



L'exemple ci-dessous montre suIRsamment qu'il résulte du procédé 

 indiqué un abrégé notable. Le calcul est d'un tiers plus court, pour le 

 même nombre x3, que si l'on prend toujours, comme auparavant, les 

 différences les plus grandes. Dans ce cas, on doit le continuer jus- 

 qu'il i'; ici il suffît d'aller jusqu'à/: 



n 





Sab-b'--.3a^-, c = 8d-e ■^^' 



^b>a>2b 6icP-i6de + e'-+i=6fid^-8de-3d'- ^°"*^ « - '^ 



,6b- -+- 8 bc-~b'= 12 b'-+i2bc + 3c'-i ■ie>d>2e c = 38 



b-'=i2b^-+i2bc + Zc'—i ■ie>d>2e _ 



3b^+: = f,bc + 3c^ d = ^e + f *-^' 



2C>b>c ,2e2+,2e/+3/^ + i = i6e^ + 8e/ — e^ 



« =:i8o 



b ^= 2C — d 



4e/+3/^=3e2-! 



Pour prouver maintenant que cette méthode peut servir non seule- 

 ment pour chercher des nombres petits ou ordinaires, mais même des 

 nombres suffisamment considérables, nous en montrerons l'essai sur 

 le nombre proposé, non carré, 109, qui demande le plus grand carré 



