COMMERCIUM DE WALLIS. 501 



Au reste, poui" ce calcul, comme auparavant, dès que l'on aura 

 obtenu le premier a, les opérations seront facilitées par le retour 

 constant des équations semblables, comme on le voit dans l'exemple 

 ci-dessus, où l'on a tant les a vrais (que j'appellerai A, B, C, etc.) que 

 les a succédanés (que je désigne par les lettres a, j5l, y, etc.), c'est- 

 à-dire tous ceux dont les carrés, multipliés par le non-carré donné, 

 sont soit inférieurs, soit supérieurs d'une unité par rapport à un carré. 

 Si, en effet, lii où par exemple se trouve 5 = i, on pose/= i, on aura 

 a, la première racine, là où est n\ si, au contraire, au lieu de 5 = i, 

 on pose w = I , on aura, là où est g, « = B racine du second carré, de 

 même que l'on a maintenant « = C racine du troisième carré. Au con- 

 traire, en répétant toujours les mêmes opérations, on obtiendra D, E, 

 F, etc., tant que l'on voudra. Ce qui, mutatis mutandis, doit aussi être 

 entendu de a, p, y, 0, etc. 



On peut cependant remarquer que de même que de a, lorsqu'il est 



connu, on peut, par la règle donnée ci-dessus, déterminer A (puisque 



de i3 X 5- — 18- = I, on conclut 2x5xi8 = i8o = A), l'on pourra 



par A connaître B; par j3, C; par B, D; par y, E; par C, F, etc. Le 



plus souvent, il en est absolument de même; il n'y a que parfois une 



légère différence. Ainsi par exemple si l'on prend le non-carré 21, et 



par conséquent 



21 a^-l- I =; aSrt- — loab -h b- 



oubien = i6a-+ 8a0-\-lj-, 



nous aurons dans un cas les nombres 1.2.3.12 ou bien 1.2. 3. 5. 12. 

 dans l'autre i .2.7 .i 2 ou i. 2.5.7.12 ou bien encore 1.2. 3. 5. 7. 12, 

 suivant que nous prendrons de différentes façons les différences soit 

 additives, soit soustractives, soit des deux sortes. Mais en tout cas on 

 aura a = 12 pour la première racine; et les autres s'obtiendront suc- 

 cessivement en poursuivant comme ci-dessus. On remarquera cepen- 

 dant que non seulement les carrés des nombres A, B, C, etc., mul- 

 tipliés par le donné 21, sont inférieurs d'une unité par rapport à 

 un carré, mais que les produits par 21 des nombres a, [3, y, etc. 

 sont supérieurs à un carré, non pas cette fois d'une unité, mais du 



