COMMERCIUM DE WALLIS. 515 



Si j'ai négligé de pousser plus loin la solution du problème proposé, 

 j'en ai donné plusieurs fois les motifs. Si votre clarissime Correspon- 

 dant n'y ajoute point de foi, on ne peut guère croire qu'il le fasse alors 

 que je les répéterais encore à nouveau. 



Mais, puisqu'il insiste d'une façon si importune, en allant presque 

 jusqu'aux injures, pour le cas où je ne le ferais point, je veux bien 

 (pour la première fois) lui donner satisfaction en abordant sérieuse- 

 ment cette question du cube dans le sens où il la prend. Il verra ainsi 

 que ses mystères des parties aliquotes ne nous sont pas inaccessibles 

 et il n'aura pas à répéter son : « 11 est facile de déprécier ce que l'on 

 ne peut atteindre. » Nous disons donc : 



1. Il est clair qu'une puissance quelconque d'un nombre premier, 

 ajoutée à la somme de ses parties aliquotes, est la somme d'une pro- 

 gression géométrique (soit i .R.R'.R^ctc), dont le premier terme (A) 

 est i', tandis que la racine ou raison commune de la progression (R) 

 est ce nombre premier, et que le nombre des termes (T) est supérieur 

 d'une unité à l'exposant de la puissance en question. 



2. On sait également qu'en général (^voir notre Malhesis unwersalis . 

 prop. 68, Chap. 33) la somme d'une progression géométrique est 



~ - A; que, par conséquent, dans le cas présent, où A = i, elle sera 



R-t ' 



3. De même, puisqu'il s'agit d'une puissance cubique, et dès lors 

 3""', G'"", 9'"'' ou autre, dont l'exposant est divisible par 3, il est clair 

 (jue le nombre T des termes, en tant que supérieur d'une unité à l'ex- 

 posant de la puissance proposée, sera 4. 7» lo ou quelque autre nombre 

 supérieur d'une unité à un multiple de 3. 



4. Si donc nous divisons la puissance 4""'> 7""^' io"'% etc. d'un 

 nombre premier quelconque, diminuée d'une unité (à savoir R^— i), 

 par l'excès sur l'unité du même nombre premier (soit R— i), nous 



