518 ŒUVRES DE FERMAT. - TRADUCTIONS. 



sonlent qu'une fois; il est donc clair que les cubes où ils figurent, c'est- 

 ii-iliro les cubes des nombres 19, 29, 37, 53, 09, Gi, G7, 71, 73, 79, 

 89, 97, le second, le quatrième et le cinquième cube du nombre 2, le 

 second cube de 3, et le second et le troisième cube de 5 doivent être 

 immédiatement éliminés comme impropres à la question (tant que 

 l'on ne fora pas le calcul pour encore plus de cubes), puisqu'il ne 

 pourra y avoir de paire de ces facteurs dans aucune combinaison des 

 cubes ci-dessus. Mais si l'on élimine le cube du nombre Gi, il faudra 

 aussi éliminer le troisième cube du nombre 2, puisque le facteur 3i 

 ne se rencontre pas ailleurs. A la suite de cette dernière élimination, 

 il faudra faire celle du cube de 43, dont le facteur 11 n'aura plus de 

 j)areil; car il ne se rencontre nulle part ailleurs que dans le troisième 

 cube du nombre 3, où il est déjà en double. Après cette élimination, 

 on fera encore celle du cube du nombre 3 r , où 37 sera désormais soli- 

 taire. Enfin on éliminera le cube de 17, car nulle part ailleurs on ne 

 trouve 29 solitaire (car il est double pour le cube de 4')- 



12. Des cubes qui restent, il est clair que celui de i, qui ne change 

 rien dans la multiplication, est inutile pour la composition. De même 

 celui du nombre 7, où les facteurs de la somme sont tous par paires; 

 toutefois quand nous aurons trouvé un autre cube satisfaisant au pro- 

 blème, ce cube de 7 pourra nous servir, puisque son produit avec 

 l'autre satisfera également, un carré, multiplié par un carré, donnant 

 un carré (remarque qui doit d'ailleurs s'entendre de deux cubes quel- 

 conques premiers entre eux et satisfaisant au problème); en atten- 

 dant toutefois cet autre cube, il faut écarter celui de 7, dont les fac- 

 teurs étant tous par couple, ne peuvent s'accoupler avec aucun autre 

 facteur solitaire. 



13. Examinons donc les autres cubes séparément. Le facteur 53 ne 

 se rencontre (jue pour les nombres 23 et 83; il est donc clair qu'il faut 

 combiner les cubes de ces nombres ou bien les éliminer tous deux. 

 Mais, en réunissant les facteurs en regard de chacun d'eux, on trouve, 

 en dehors de 2 pris six fois, 3, 5, 53 pris chacun deux fois, les soli- 



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