COMMERCIUM DE WALLIS. 521 



En premier lieu, le nombre ii fournit, outre les doubles, les fac- 

 teurs solitaires 2, 3, 61 qui, unis aux précédents 2 et 3, les doublent, 

 en ne laissant comme solitaire que 61, pour lequel on trouvera un com- 

 pagnon au troisième cube de 3, où 61 est le seul facteur solitaire. Par 

 conséquent, si avec les quatre cubes des nombres précités 5, i3, 41. 

 47, on combine celui du nombre 11 et le troisième cube ou la neu- 

 vième puissance du nombre 3, le cube formé par cette combinaison, 

 étant augmenté de la somme de toutes ses parties aliquotes, fera un 

 carré dont les facteurs premiers seront les mêmes que ceux des cubes 

 composants augmentés de même; ces facteurs premiers seront donc : 

 2 seize fois, 3 quatre fois, 5, 7, i r, i3, 17, 29, 61 deux fois. 



D'ailleurs si ce même cube, ainsi trouvé, est multiplié par le cube 

 du nombre 7, le produit sera encore cube et, augmenté de ses parties 

 aliquotes, il fera un carré qui aura de plus que le précédent les fac- 

 teurs 2 quatre fois, et 5 deux fois. 



D'ailleurs le cube ainsi composé ne laisse d'intact, parmi ceux du 

 Tableau ci-dessus, que le cube i qui ne change rien, et le cube du 

 nombre 2 qui, augmenté de ses parties aliquotes, fait 3x5, nombre 

 non carré; en effet, le premier cube du nombre 3 se trouve compris 

 dans le troisième et ne peut rentrer dans la combinaison; dès lors il 

 est clair que le cube ainsi composé ne peut plus être combiné avec 

 aucun de ceux du Tableau, en sorte que le produit ainsi formé, étant 

 augmenté de ses parties aliquotes, fasse un carré. 



En second lieu, on peut cependant compléter autrement le cube 

 formé par la combinaison de ceux des nombres 5, [3, 4i. 47» tj'ii. 

 comme j'ai dit, laissent comme solitaires les facteurs 2 et 3; mais il 

 faut cette fois laisser de côté le cube du nombre 11 et dès lors le troi- 

 sième cube de 3, qui doivent être, comme ci-dessus, pris ensemble ou 

 écartés ensemble, à cause du facteur 6t qui ne se trouve pas ailleurs. 

 Le cube du nombre 2 fournira les facteurs solitaires 3 et 5, et le prez 

 mier cube du nombre 3 les facteurs solitaires 2 et 5; de la sorte, les 

 facteurs solitaires précédents 2 et 3 trouveront des compagnons, et j, 

 rencontré de part et d'autre, sera doublé. Ainsi, en combinant avec les 



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