COMMERCIUM DE WALLIS. 527 



vous supplier, si vous le voulez bien, de ne pas dédaigner de continuer 

 votre amitié à celui que vous vous êtes gagné, et qui est, 



Très illustre Seigneur, 

 Votre très humble et très dévoué serviteur, 



John Wallis. 



Oxford, 4/i4 mars 1657/8. 



Pour l'allusion de votre très noble Correspondant à ma recherche 

 malheureuse de la quadrature du cercle, je ne saisis pas bien ce qu'il 

 prétend. Voici la quadrature que j'ai donnée : 



Le produit des carrés des nombres impairs, 3, 5, 7, 9, etc. à l'infini 

 est au produit des mêmes carrés diminués chacun d'une unité, comme 

 le carré du diamètre est à l'aire du cercle. 



En quelque point d'ailleurs que l'on veuille arrêter cette multipli- 

 cation de carrés, on tombera entre les limites suivantes : Si le produit 

 des carrés est multiplié par la racine carrée de la somme de l'unité et 

 de la partie aliquote de celle-ci, qui a pour dénominateur la racine du 

 dernier carré, on a une quantité trop forte; si, au contraire, le déno- 

 minateur est la même racine augmentée d'une unité, on a une quantité 

 trop faible. Ainsi 



Q X 25 X 4q X Si X v/i i 



3 z-^ — T- est plus grand que le rapport du carre au cercle, 



8 X 24 X 4*^ X 80 f ^ fi 



q X 3.5 X 4q X 81 X v/i tV 



' :; T-^ — TTT — est, au contraire, plus petit. 



8 X 24 X 48 X 80 ' ' 



J'ajoute que ce rapport est également celui du rectangle des axes 

 conjugués ou d'un parallélogramme quelconque circonscrit à l'aire de 

 l'ellipse. 



Si votre très noble Correspondant regarde cette quadrature comme 

 fausse, qu'il la réfute, s'il en est capable. Qu'il montre, veux-je dire, 

 que le rapport du cercle au carré du diamètre est plus grand ou plus 

 petit que ce que j'ai assigné. Mais s'il n'a voulu faire qu'une insinua- 

 tion moins grave, parce que cette quadrature ne lui plait pas ou qu'il 



