CONTACTS SPHÉRIQUES. 63 



m puncto contiiigens, aio sphan-am YN etiam a sphaM'a OTS contac- 

 tam iri. 



Producatur recta VO, donec sphœrœ OTS occurrat in Q : rectangu- 

 lum igitur QYO, ex primo lemmate, est aequale SVT. Sed rectangulum 

 SVT, exconstructione, estaequale rectangulo RYMcui, ex secundo lem- 

 mate, est sequale rectangulum suh YO et rectà per puncta Y et ad 

 superficiem sphsericam sphaeraj YN productà : ergo punctum Q est ad 

 superficiem sphaenc YN; commune igitur est et superficiei sphîer?e YN 

 et superflciei sphaira' OTS. 



Aio lias duas sphseras in puncto eodem Q se contingere. Ducatur 

 enim a puncto Y quselibet recta in quolibet piano < per quodlibet 

 punctum > sphseraî OTS, et sit, verbi gratia, YZ, quae productà secet 

 spba;ras très in punctis Z, D, H, K, P, B. Rectangulum ZYB in sphwra 

 OTS, per primum et secundum lemma, est sequale DYP rectangulo, 

 spbaerisduabusXMet YN terminato. Sed DY est major rectà VZ; (|uum 

 enim spbaera OTS tangat exterius spba;ram XSl in puncto 0, recta 

 secans spbseram OTS prius ipsi occurret quam spba^rje XM. Quum 

 ergo probatum sit rectangulum DYP œquari rectangulo ZYB, et recta 

 ZV sit minor rectà DV, ergo recta PY erit minor rectà BY; punctum 

 igitur B extra spha'ram YN cadet. 



Simili ratiocinio concludetur omnia puncta spbaM'œ. ambientis exte- 

 rius cadere, prteter punctum Q. Tangit igitur sphsera OTS spbœram YN ; 

 quod erat demonstrandum. 



Nec absimilis autdifficilior in contactibus interioribus et in omnibus 

 casibus demonstratio. 



Lemma IV. — Sit planum AC {//'g. 6o) et spbœra DGF, cujus cen- 

 truni 0. Per centrum ducatur FODB perpendicularis ad planum, et a 

 puncto F ducatur recta (jua'vis ad planum, spbœram secans in G et 

 planum in A. Aio rectangulum AFG sequari rectangulo BFD. 



Nam secentur spbaîra et planum datuni per planum trianguli ABF, 

 et fiât circulus GFD in spbœra, in piano autem recta ABC. Quum recta 

 FB sit perpendicularis ad planum AC, erit etiam perpendicularis ad 



