OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 295 



(lisponantiir iinà cum rel'Kjuis loco latei'uni : verbi gratia, metiantur 

 tlafum niimeniin 



5 per cubum, i3 per quailralum, et 17 per latus simpliciter. 



Sumantur expdnentes omnium divisonim : nempe iiiimeri 5 expo- 

 nens est 3 proptcr cubum; numeri i3 exponens est 2 proptei' quadra- 

 Uim et numeri 17 unitas tantum. 



Ordinentur igitur, ut volueris, dicti omnes exponentes : ut, si velis, 



3.2.1. 



Ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam 

 primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tertium bis et producto ad- 

 jiciendo summam 17 et tertii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypote- 

 nusa 52 triangulorum rectangulorum; ncc est dissimilis in quotcum- 

 que divisoribus et ipsorum potestatibus metbodus. 



Roliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non supe- 



(Jéduil qu'il est l'iiypotéiiuse d'un triangle reotanglo en nombres, car 

 ( ,f- -f- .y2 f=(p'-- q^ )-2 -+- ( 2 pq T- , 



on aura ainsi le moyeu de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant c(\ pour 

 hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la réserve que les opérations ne seront pas 

 illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une 



somme de doux carres égaux; on doit en conséquence exclure le cas où ^ = — —-. • 



5° Bacliet indique les corrections qu'il a apportées au texte grec. 



6° 11 montre comment le procédé de Diophanto peut être généralisé, en prenant deux 

 nombres sommes de deux plans semblables; le produit de ces nombres peut en effet, s'il 

 n'y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières 

 différentes. 



Enfin, il soulève la question que Fermât a complètement résolue dans sou observation, 

 à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l'on 

 voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est i l'ois seulement somme de deux carrés 

 par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 

 •1 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable i seule fois, don- 

 nera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (i fois si lo multiplicateur a un fac- 

 teur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nombre décomposable 

 5 fois seulement, nudtiplié par un qui ne l'est que i fois seulement, donnera (en excluant 

 le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement. 



On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l'est 

 I fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décom- 

 posable. Un nombre G fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 

 24 fois décomposable. Bachot donne des exemples sans démonstration. 



