OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 323 



ad producliiin sub /lypoleniisa cl perpendiculo alterius habcal rationcm 

 datam. 



Quae sane qusestio diu nos torsit et vere difticilliinani quiliht'l (en- 

 taiulo experietur, sed tandem patuit generalis ad ipsiiis solutioiiem 

 methodus. 



premier triangle, en sorte loutel'ois que arj > b^\ il forme le second en posant 



t>i bx 



et le troisième en prenant 



(13= tiifi-i, bj= bic-i+ li-,Ci, (■3=riCo — bib^. 

 On a alors, d'une part. 



de l'autre, 



''i '"■2 '"3 = (aèir, )-. 



Fermât a bien reconnu (pie Diupliante. se donnant arljilrairement, par exemple, le troi- 

 sième triangle (5, 3, 4), clierclie les deux autres en sorte que — — - soit dans un raiiporl 



Ci Ci 



donné, à savoir 5. Mais il n'a pas deviné le procédé de l'auteur grec, ipii a élc restitué 

 par Otto Scliulz (Dioplianltis von Alcxaiidria arilliinethchc Aufgahcii iicbsl ilc.sxcn Schrtfl 

 iïber die Polygnit-Ziililcii, aux dcni Qricchisclien iibersctzt itiid mit .J/imer/m/iffe// bej^leitet. 

 Berlin, 1822, p. 54f>-iJi) d'après le texte donne par Bacliet. 



Diophante prend d'abord deux triangles auxiliaires («i, pi, Yi"), (a,, p.,, y>). tels (|uc 

 Prfi soit à P2Y2 dans le rapport donné. Ces deux triangles, obtenus comme dans le |)r(i- 

 blème précédent V, 24, sont d'ailleurs (j3, la, 5) et (5, 4, 3 ). 



D'autre part, ayant un triangle (a, p, 7), Diophante sait construire un triangle {». b, r) 



tel que cic = '—^- Il prend à cet effet 



ri = 





oc, b = 



■irt 



Du triangle (i3, 12, 5) Il déduit de cette façon lo triangle /G-i — ^j —,]^ et du 



\ 2 2b 1 3 / 



triangle (J, 4,3), le triangle ('■-' -^' "^)' Les deux triangles ainsi formés salisfoul 



évidemment à la condition imposée. 



l'our achever le problème primitif, Diophante prend pour les trois carrés cherchés 



(^.,.)\ (i.;f, (fi.); 



\"1 / \"l 1 \rt3 / 



c'est-à-dire 



'4 400 

 28561 



X-. 



et, égalant leur produit à j-, il tire pour .r la valeur — ■ 



^5 



