OBSERVATIONS SUR DIOPHANTE. 333 



Si poiialur, loco iN, numerus unà cum 4 quadratiim conlk-iens, 

 verbi gratia, iQ + 4N, fiet 



primus numeronim ?ef|Mc'in(loruni qiiiiclralo iQ 

 secuiicliis igitur eiil 2Q 



terlins 5Q- 



Primas aiitcm, ex coiistnictione, est quadratus : ergo debcnt «Tquari 



([.iiadrato 



2Q-+-8N + 4 et 5Q-(-2oN + 4, 



et oi'itur duplicata a'qualitas qiue iinicaiii certe exhil)ebit soliitio- 

 nem ('), sed eà exbibità prodibit rui'sum nova, et a socundà tertia 

 deducetur, et in intinilum. 



Quod opus ita proeedet ut, invento valore iN, rursus ponatur iN 

 esse iN -+- numéro qui primum ipsi iN inventas est œqualis. Hac enim 

 via intiuit;e prioribus solutionibus solutiones accèdent et postrema 

 semper derivabitur a proxime antécédent!. 



Hujus inventionis i)cneticio infinita trianguh» ejusdem area? pos- 

 sunius exbibere (^-j, quod ipsum videtur latuisse Diopbantum, nt 

 patet ex quaîstione octava Libri V, in qua tria tantuni triangula a-cjualis 

 areœ investigat utsequentem qusestionem in tribus numeris construat, 

 ([U£e ad infinitos, ex iis quse nos primi deteximus, recipit extensionem. 



(') D';i|ircs les procédés do Diophante, cette solution s'obtient comme suit : 

 Soit la double équation 



ax'^->r bx -^c--= u"-^ a' x'- ^ h' X -^ c^ = v\ 



on on conclut 



{a — a')x-^{l> — l/')x—u'^—v^. 



On satisfera à cette relation en posant 



a — a 



h — // 



2 c -, 7-, .r -H 2 c = M + t', .r = u — c. 



b — b >.c 



De ces doux équations on tirera la valeur de a ou de c, et, en substituant dans une des 

 deux premières, on obtiendra pour x une valeur rationnelle déterminée. 



(■^) Voir Observation XXilI. Fermât renvoie d'ailleurs à la présente Observation XLIII 

 dans les suivantes : VI, XVI, XXII, XXXI. 



