\IV. - 11 OCTOBRE 1G36. 81 



prouvez, nous communiquerons ensuite des conséquences qui en dé- 

 pendent. 



3. J'ai trouvé la démonstration (') de la somme des quarrés de deux 

 côtés rationaux, commensurables en longueur, appliquée au double de 

 la somme des côtés, excédant d'une figure (juarrée. Mais, puisque 

 vous l'avez aussi trouvée, je ne vous dirai ici que mon principal fon- 

 dement qui est que, de deux nombres quelconques, la somme de deux 

 fois le quarré du premier, deux fois le quarré du second et deux fois 

 le produit des deux nombres, n'est pas un nombre quarré, d'autant 

 que, prenant les moindres nombres de leur raison,' un nombre simple- 

 ment pris n'est pas quarré. Si nous avons tous deux un même moyen, 

 ceci suffit; si vous en avez un autre, ce que vous reconnoîtrez par ce 

 discours, vous me ferez faveur de me l'apprendre, et moi je vous écri- 

 rai le mien tout au long, si vous le désirez. 



4. .l'ai aussi trouvé la démonstration (-) de votre conoïde et celle de 

 votre parabole solide et, en conséquence, celles d'uiu^ infinité d'autres 

 pareilles, quarréquarrées, quarrésolides etc. 



5. .l'ai trouvé les tangentes de toutes ces figures : par exemple, eu 

 la parabole solide, la portion de l'axe, prise entre la tangente et le 

 sommet, est double de la portion du même axe, prise entre le sommet 

 et la ligne appliquée de l'attouchement à l'axe. 



6. .l'ai, par le même moyen, quarré la parabole géométriquement, 

 autrement qu'Archimède. 



7- Ht je me trompe fort si je n'ai rencontré le même moyen que 

 vous, me servant des lignes parallèles à l'axe et des portions de ces 

 lignes prises entre les paraboles et la ligne qui touche les mêmes para- 

 boles par le sommet, lesquelles portions se suivent en la raison de 

 l'ordre naturel des nombres quarrés ou des nombres cubes etc. Or, la 

 somme des quarrés est toujours plus que le tiers du cube qui a pour 



(1) /o(r Lettre XI, 7. 



(2) Foir LeUres IX, 7; XIII, 3 et 6. 



Fermât. — \\. il 



