XLII. - AOUT IGiO. 203 



[)uis(jue vous me faites espérer la commmiiratioii de vos pensées en 

 retle matière. 



2. Après cela, je vous dirai que M. Frenicle m'a donné depuis 

 (|uelque temps l'envie de découvrir les mystères des nombres, en quoi 

 il me semble qu'il est extrêmement versé. Je lui ai envoyé (') les belles 

 pro|)Ositions sur les progressions géométriques qui commencent à 

 l'unité, lesquelles j'ai non seulement trouvées, mais encore démon- 

 trées, bien que la démonstration en soit assez cachée, ce que je vous 

 prie d'essayer, puisque vous les avez vues. 



3. Mais voici ce (|ue j'ai découvert (-) depuis sur le sujet de la pro- 

 position 12 du cinquième Livre de Diophantc, en quoi j'ai suppléé ce 

 que Bacliet avoue n'avoir pas su, et rétabli en même temps la corrup- 

 tion du texte de Diophantc, ce qui seroit trop long à vous déduire. Il 

 suffit que je vous donne ma proposition et que je vous fasse plutôt sou- 

 venir que j'ai autrefois démontré (^) quun nombre moindre de l'unité 

 (jn' un multiple du quaternaire n'est niquarré, ni composé de deux q narrés . 

 ni en entiers ni en fractions. J'en demeurai pour lors lii, bien qu'il y ail 

 beaucoup de nombres plus grands de l'unité qu'un multiple du quater- 

 naire, qui pourtant ne sont ni quarrés, ni composés de deux quarrés, 

 comme 2f , 33, 77, etc., ce qui a fait dire à Bachet sur la division pro- 

 posée de 21 en deux quarrés : quod quidem impossihile est, ut reor, cîini 

 is neque quadratus sit, neque suapte natura cumpositus e.r duohus qua- 

 dratis, où le mot de reor marque évidemment qu'il n'a point su la 

 démonstration de cette impossibilité, laquelle j'ai enfin trouvée et 

 comprise généralement dans la proposition suivante : 



4. Si un nombre donné est divisé par le plus grand quarré qui le me- 

 sure, et que le quotient se trouw mesuré par un nombre premier moindre 



( ' ) J'oir LeUrc XL, 6. 



( 2 ) f'oir Tome I, Observationx XXV et XXVI sur Dioplianle. 



( 3) Celte proposition avait été, en même temps que le second théorème énoncé Lettre XII, 

 3, envoyée par Merscnne à Deseartes, le 22 mars i638, comme démontrée par Fermât. 



