XLIV. — 18 OCTOBRE 1G40. 209 



ment sur lequel j'appuie les démonstrations de tout ce qui concerne 

 les progressions géométriques, qui est tel : 



Tout nombre premier (') mesure infailliblement une des puis- 

 sances — I de quelque progression que ce soit, et l'exposant de la 

 dite puissance est sous-multiple du nombre premier donné — i; et, 

 après qu'on a trouvé la première puissance qui satisfait à la question, 

 toutes celles dont les exposants sont multiples de l'exposant de la pre- 

 mière satisfont tout de même à la question. 



Exemple : soit la progression donnée 



1 2 3 i 5 « 



3 9 2- 8i 243 729 etc. 



avec ses exposants en dessus. 



Prenez, par exemple, le nombre premier i3. Il mesure la (roisièmc 

 puissance — i, de laquelle 3, exposant, est sous-multiple de 12, qui 

 ost moindre de l'unité que le nombre i3, et parce que l'exposant 

 de ';2(), qui est G, est multiple du premier exposant, qui est 3, il s'en- 

 suit que i3 mesure aussi la dite puissance 729 — i. 



Et cette proposition est généralement vraie en toutes progressions 

 et en tous nombres premiers; de quoi je vous envoierois la démonstra- 

 tion, si je n'appréhendois d'être trop long. 



5. .Mais il n'est pas vrai que tout nombre premier mesure une puis- 

 sance + I en toute sorte de progressions : car, si la première puis- 

 sance — I, qui est mesurée par le dit nombre premier, a pour expo- 

 sant un nombre impair, en ce cas il n'y a aucune puissance -f- i dans 

 toute la progression qui soit mesurée par le dit nombre premier. 



Exemple : parce qu'en la progression double, 23 mesure la puis- 

 sance — I qui a pour exposant it. le dit nombre 23 ne mesurera 

 aucune puissance -+■ 1 de la dite progression à l'infini. 



Que si la première puissance — i qui est mesurée par le nombre 



(') C'csl de cet énoncé qu'a été tirée la proposition connue sous le nom de Théorcnie 

 de Fermât, à savoir que si p est premier et ne divise pas a, il divise «''-' — i. 



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