L. — 6 SEPTEMBRE 1641. 233 



double — 2 du même nombre, on ne trouvera pas les triangles qui se 

 font par 29 et 12 ou par 60 et 298, et une infinité d'autres; mais on 

 les trouvera tous par la règle que vous mettez en l'écrit particulier ( ') 

 que vous avez envoyé, qui se fait mettant pour un des nombres consti- 

 tutifs du triangle un nombre composé de deux quarrés premiers entre 

 eux et de divers ordres. 



Et cette dernière méthode sert à trouver tous les primitifs dont les 

 côtés des quarrés (-) sont comme d'un nombre impair à un autre 

 nombre. Par exemple, on trouvera par icelle qu'il y a deux triangles 

 où les côtés des quarrés sont comme île G5 à un autre nombre, et dont 

 le moindre côté est différent d'un quarré des deux autres : savoir les 

 deux qui sont faits de 65 et i4 et de 65 et 24 et les autres qui sont en 

 même proportion. 



Mais si on vouloit tous les triangles primitifs dont les racines des 

 quarrés sont comme d'un nombre pair à un impair, comme par 

 exemple de 60 à quelque autre nombre, on n'y pourroit pas satisfaire 

 par cette seconde règle, sinon après un long tâtonnement (•'), et la 

 première règle ne donne que la raison de 60 à 1861; mais il y a encore 

 trois autres proportions, outre celle-là, qui ont toutes 60 pour un de 

 leurs termes. 



J'ai deux règles différentes dont chacune donne tous les triangles 



( ') Écrit perdu. — La première règle de Fermât consiste à prendre pour les nombres 

 servant à former le triangle rectangle {voir page ■ri'i, note i) 



/) = r-+i, q = ir — ï. 



La seconde règle à prendre, r et ^ étant premiers entre eux, 



/) = r- -i- .1'' , q =^ ■x( r — s) s. 



C ) Frenicle appelle ici càtés ou racines clex quarrés les nombres servant à former le 

 triangle rectangle, désignés par/> et q dans la note précédente. 

 ( ' ) Si l'on pose 



/•2-+- I 



et q = r — I, 



■2. 



et que l'on fasse q = 60, on aura 



r = Gi, /) = 18G1. 



J-cs trois autres proportions sont 



Go, 293; 60, aGg: Go, 157. 

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