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A la seconde queslion, jo vous réponds que le dernier de ces 

 nombres est composé et se fait du produit de ces deux : 



898 !\?.o et I ly 3o3, 

 i|iii soni premiers (^ ' ). 



Je suis toujours, mon Révérend Père, 



Votre très huml)le el très an'eclionné serviteur. 



Fermât. 



A Toulouse, ce 7 avril iG43. 



LVII. 



FRAGMENT D'UNE LETTRE DE FERMAT ( = ). 



< 16V:5 > 



(A, f-74.) 



Tout nombre impair non quarré est difTérent d'un quarré par un 

 quarré, ou est la diiïérence de deux quarrés, autant de fois qu'il est 



( ') Sur le problème ainsi posé, il était aisé de trouver la composition du dernier nombre. 

 En effet, si, pour trouver le rapport du produit à la somme des parties aliquotes, on pari 

 du premier nombre qui est 2^^ x 5^, on remarque que 2^^ a, pour somme de ses parties 

 aliquotes, 223 x 616 318177. Le second de ces deux facteurs correspond de même à la 

 somme 2 x 7' x 898 '|23. Ce dernier facteur ne se retrouvant pas, comme les précédents, 

 parmi ceux du produit proposé, il est naturel d'essayer de diviser par lui le dernier 

 nombre donné, dès que l'on ignore si celui-ci est premier. Par conséquent, quelque mé- 

 thode que possédât F'ermat pour rechercher si un nombre est premier ou non (voir 

 Pièce LVII), il est improbable qu'il ait employé cette méthode et fait des calculs plus longs 

 que ceux que nous avons indiqués. 



(2) Le fragment qui suit a été publié par M. Cliarles Henry (Recherches etc.. p. 191) 

 d'après le brouillon d'Arbogast, transcrit d'une copie perdue de Mersenne. Il ne renferme 

 que l'exposé d'une méthode pour la recherche des diviseurs d'un nombre, en commençant 

 par les plus grands, et répond ainsi à une question faite par Mersenne pour le compte de 

 Frenicle (Cp. LVI, 4) et sur laquelle les correspondants de Fermât ont dû revenir. Mais 

 la copie d'Arbogast porte le titre : Des nombres des parties aliquotes, qui semble indiquer 

 que ce fragment faisait partie d'une communication beaucoup plus étendue, adressée soit à 

 Mersenne, soit à Frenicle. Dans ce cas, la date en serait probablement postérieure à celle 

 que suppose le rang assigné à cette pièce pour la rapprocher de la Lettre LVI. 



