CXVII. - 1664. 493 



Mais nous avons prouvé que la droite BO est plus grande que la somme 

 des deux droites BF et FR : il est donc vrai que la droite CO est plus 

 grande que la somme des deux droites DF et FI, ce qu'il falloit prouver 

 en second liau. 



Il n'y a donc aucun point du coté de M par où le rayon puisse passer 

 sans y employer plus de temps que par le point F. Il reste à prouver la 

 même chose au point V. 



Si l'on fait, comme ci-dessus, 



comme BF à FA, ainsi FV à FN, 

 et 



comme la même BF à FM, ainsi FV à FX, 

 NF sera à XF comme AF à FM, c'est à dire comme BF à FI), 



par la preuve précédente, et chacune de ces deux droites NF et XF 

 sera plus petite que VF, par ce qui a précédé. 



Il faut prouver que la somme des deux droites YV et VH est plus 

 grande que la somme des deux droites DF et FH. 



Je considère premièrement que, par Euclide, dans le triangle ambly- 



gone VFH, la somme des quarrés HF et FY et du rectangle IMFY pris 



deux fois est égale au quarré YH; mais, puisque, par la construction, 



il a été fait 



comme HF à FM, ainsi FV à FX, 



donc le rectangle BFX ou le rectangle HFX (puisque BF et FH sont 

 égales) est égal au rectangle MFY : nous avons donc, d'un côté, la 

 somme des quarrés HF et FV et du rectangle HFX pris deux fois égale 

 au quarré HY. Mais le quarré FX est moindre que le quarré FY : donc 

 la somme des quarrés HF, FX et du rectangle HFX pris deux fois est 

 moindre que le quarré HY. Or cette somme est égale au quarré fait 

 des deux droites HF et FX comme d'une seule, par Euclide : donc la 

 somme des deux droites HF et FX est moindre que HY, et HY est plus 

 grande que ces deux droites HF et FX. 



Si je prouve donc que la droite YY est plus grande que la droite DX, 

 il restera prouvé que la somme des deux YY et HY est plus grande 

 que la somme des trois DX, XF, FH, c'est à dire que des deuxDF, FH. 



