Arithmetic^ Pars II. Cap. V. 2 6 y 



p«/i:i? Mtionibus ex regula compontionis : 



i -^*^^*»!- 4 — t I ixo. 



Contra detur folidum prirai 15, quaiti 4, fexti i.Tquarc foli- 

 dumfecundi P,tertij?,quinti jiDico rationem prinii i^adfe- 

 <undum 8 compofltam efle e ratiopibus terci) ad quartum , &c 

 qainti adfextum: Deinde , lifdem datis.fi Litnt-vmtii foltdi s,- 

 qn.tbit latm altertHS,a.qu»libui fr£termijfis bafes eritnt iquales. 

 Vt datis fcxnumeris 6. ii.i.j. j.y.quorumratio primi ad fc- 

 cundum xi fit compofita c rationibus tetrij i ad quaitum j, 

 fcquinti 3 ad fcxtura 7, vt vnius folidi latera fint primus 6, 

 quattus j.fextus 7 ; alterius latera fint fecundus ii,tcrtius i, 

 quintus ?;quiaprioris lacus 1 eft xquale latcii cuidam pofte- 

 tiotis !,dico his duobus prxcermiflis tanquam communi alti- 

 tudinc iqualium,bafin, id eft.faftum a duobus prioris folidi 

 latcribus 6 & 7 zquari fafto a duobus rcliquis poilcrioris 11 

 Sc i:vtcrquc enimelHi^vt hk vides; 





Pcr hanc regulam fex quantitatumpra:cipua rerum ccelcftium 

 myfteria Menelaus , Ptolemius,c2terique Aftronomia; prin- 

 cipes , vt Alchindus & Gcber , deprchcnderunt. Huic au- 

 tem reguis; alTignauiinus locum poft extradlionem radicis 

 quadrat^ & cubica; , quod videJlur clTc appendix huius 

 dodtuna:- 



C A P VT V< 



De Inuentione numeriproportionalis /'«- 

 ter datos. 



Pr.^cepta. 



iXtradionemradicis quadrats & ciibicx con- 

 fidcr..uimus rationc forma: : iam conllde- 

 rabimus ratione ptoporiionis , qux indc co- 

 gnofcitur. 



Illa proportio f9i numeri proportionalis inter 

 datos. 



Numcrus proportionalis inter duos datos,cft vel 

 vnus.vel duplex. 



R E 6 V l i€. 



/. V/m raditi tptadrau & cuhice. efigenerdU 6" 

 fj^ecidu. 



Non foliim in gcomctrii, aftronomia, gcographia,& aliis 

 artibus mathematicis , itemque mcchanicis, ha.-cdodrinalia- 

 betvfum:fed etiam pet vniuerfara Algcbram diffunditur. In- 

 ter alia facit ad inucntionem numeri proportionalis. Prior 

 vfus eft gencralis:poftcrior,fpecialis. 



/ /. NnrtierM proportiomlis in ^iudratis imenitur 

 iuxttt hac elementtt. 



I. CempUmentum in quadratos fingidaref eft mediiim fro- 

 tortionalc.Vt funto lateris 1 1 (egmenta 10 & i, vnde fa^-^^us 

 10 cft complemcntum, medium propottionale inter 100 & 4 

 quadratos rcgraeinorum fingulaies, fic 100.10.41 Vfuseft in 

 analyfi laterisbinomij & rcfidui. i. Si tret numeri fiierint con- 

 tinui profortionahs , facliis ab extremis tquat qtiardatummedij 

 ^contra,Si quadratus medijequacfaciHm ab c.xtremis,tres funt 

 continui proportionales. Vt funto continuc proportionalcs 4. 

 tf.9.faftus ab exttcmis jS, squat quadtatum mcdij j6. Con- 

 tra detut horum faftotum ccqualitas , data etiam crit trium 

 proportio continua. j. Si tres fuerint proporttonales eontiniti 

 minimi , extremi fiint cjuadrati. Itcm : Si primus ejl quadratus, 

 ^tiam tertius ertt quaUratus. Vc funto tics continuc propor- 

 tionalcs inter fe minimi ^.«.^.dico cxtrcmos 4 Si ^cifc qua- 

 dracos. Item funto continui ttes itf. 5i.<?4. Primufquc 16 

 quadcacus : dico & tercium S4 efic quadtatum. 4. Datis diio- 

 bus numeris tertium proportionalem mncnire. Quadra (ccun- 

 dum , hoccft, in fc inulciplica,& faftiim diuidc pcr primum. 

 Vt funco j & 6,quibus tcttiusproportionalis fit inuinicndus. 

 Dico fcxics fcx funt j6. quihusdiuifispcr j.cxit tcrtius pro- 

 porciooalis ii. Sunt cnim j ad tf.ita 6 ad ii.Ita datisdu.ibus 

 lincis tcrria ptoportionalis codem modo inucnitur. 5. Datis 

 duobus numeris medium proportionalem inttcnire. Mulciplica 

 datos inter fc, cx fafto clice radicera qu.idratam. Ha'c cnlm 

 fll mcdiuni proportionale. Nam quadi*tum medij numcri 

 Tovi 1 1. , 



eft arquale reaangulo fub extrcmis compichcnfo. Vt fun'o 

 i. n.Dicoter ii funt ; «. equibus ladix quadiaca ficft me- 

 dium proportionale inter j.i i.Sic intcr 4 ic 9 itidcm fcx.In- 

 ter -{- & j mcdium ptopottionalc funt4 • quia dudis j in -^ 

 fiunt -|-, cjuorum radix eft -|-. Sic inter 5 & i j medius pro*- 

 portionalis eft S.radixquadrata numeti «^.qua; radix caulo 

 maiorcft.quam 8-pT,&: paulo minor quam i-^. 



1 1 L Numertu proportiomdis in cubicis imemtur iux' 

 ta dtcc elementa. 



I . Complementum maius efl medium maius, ^ minus cft mc- 

 dium minus propoitionale inter cubos fingulares. Vt cfto ciibus 

 totus i7iS,in quo duo fiiigularct funt ioeo.&: S.Maioris ba- 

 fiscft 100, minoris ^.Alcicudo raaioris lo.minoris i. Maius 

 complcracntum fit a 100 pcr i.minus concraa^ per 10. Ergo 

 illa fuiu mcdia proporcionalia.i. raBus a tribus continue tro- 

 portionalibus eft cubus medi/. Vt funco ttcs continuc ptopor- 

 tionales 4. *. 9. Fa^ftus ab iis continuc eft 2 1 «, cubus 6 medi j. 

 Eltautem hoc clementum regula quardam aurca foiida, qua 

 dato trium jitopornonaliura altcro excrcnio cuni folido om- 

 nium danturreliqui : vt hic datis 116 cum primo 4. datur 

 medius per analyfin lateris cubici 6.1am faflus a i pcr 6 eft 

 14 bafis folidi,pcrquam diui(us 116 dat quocum 9 alcitudi- 

 ncm,tercium proporcionaltm;vel quia 6 eft mcdius,cius qua- 

 drato diuifo pcr 4 , quotus eft iccm 9 tertius pioportionalis. 

 i SuMuor continue proportionaliurn extrcmi funt fimiles folidi; 

 fSrfi quatiiorifti fiint minimi.extremi fiint cubi. Vc funto qua- 

 tuor continuc proportionales 16. 14. j6. 54. D.coextrcmos 

 16 & 54e(rc fimiles folidos.Sunt cnira fa£li atcrnislatciibuj 

 proportionalibuSjfic; 



1. 4. 1. I 16. 



5. S. j. 1 54. 



5unto iam qiiatuor continuc minimi;8. 1 1.18. 17. Dico extre- 

 mos & 17 etlc cubos. 4. Si quaruor numcri fuerini continue 

 proportion.iles faciiab extremisper eorum alternos quadratos funt 

 cuut mcdiorum , maior maioris minor minoris. Vt lunto qua- 

 tuor continue proportionales 16. 14. 56.54. quadrati excrc- 

 morum (unti 56 & i^ifi.Iamfaftus aminoreextremo 16 ptr 

 niaioris quadratum 1916 cite 4 66 5 6:faiftus a maioreexcremo 

 <H per minorls quadratum 15 6 elte i jSi^.Maiojris cubicum 

 latus cfl: j6,ininoris i4,ipfimcdij. Eft igitur hxc regulame- 

 folabium quoddam, id efl.concinuc mediorum inuentio.qua 

 datis extrcmis dancur medij. 5. Si quattior numcri fuerint con- 

 tintie proportiona!es,erit vt primtts ad quartum.fic cubtts e prima 

 adciibumficundi. Vt funto quatuor continue proportionales 

 1.4.8. 16. piimus autcni 1 ad 16. quartum fuboftuplus : ergo 

 cubusprimi S ad cubum fccundi 6+ eft ("uboftuplus.Caufa cftj 

 quia ratio primi ad fecundum triplicatur in quarto. Hinc tri- 

 plicata ratio ctiam cuborum ratio dicicur. 6. Duo numeri pro- 

 portioniiles medijinter duts diitos inueniiiniur ,fi minor ducatiir 

 in fe.producfum ru maiorem.Namradix§luotientis cuhica ofttn- 

 dit primiim medittm proportionalem. Deiiide -vt inueniaturfe- 

 ctin dus ,multiplicetur primus mcdius proporlionalis infe,^ diui- 

 datiir per priiimmnumerum diitinn.yx.mtct j &: i^fic inueni- 

 uncur duo medij proporcionalcs. Duc j in fe.funt 9. hx'c in 

 14 . fiunt 11 6. cuius radlx cubiea cft fi.piimum mcdiumpro- 

 portionalc Dcindc duc 6 in (c.S: j6dii»idc per 5 5 fiunc ii.Eft 

 igitur concinua pioportio j.^.ii.i^.Itaquc vt inucniatur me- 

 dium proporcionale inccr duosdacos,opus eft cxtra;>ionc ra- 

 dicis cubici:ficutinucntio vnius numcri racdij proportionalis 

 perficiebacur opc extradionis quadratir. Clariiis ita habe. Vt 

 inucniantur duo media proportionalia inrer duos datos,rauI- 

 tiplicccur qu:idiatus rainotis in roaiorcm. Piodufti ladixcu- 

 bica crit primus mcdius , iuxta minorcm collocandus. Tiim 

 maioris quadracus ducatur in minorcm. Ptodu£litadix cubic» 

 erit altcr nicdlus iuxta maioicni ftacucndus. Si interi& 54 

 mcdij proportionalcsfunc 6 &iR.Nam 6 eft radixcubicapro- 

 dudi 11(5 & 18 crtiadixcubica produifli ^Sji.Sic crgo collo. 

 centur hi numcrii.fi.iS.j^.C.ctcrum inuento altero medio- 

 ruinnumcrorum rcpcriecuraltcr ctiam, fi inucncus pcr rcmo- 

 tiorcm cxtrcmum miiltiplicccur , & pioduifli radix <iuadiata 

 fumatur:vt in datocxcmplo1.fr.18.54.fi medius 6 ducatur in 

 54,critpiodufti U4 radix quadrata 18 altcr mcdius. Itemin- 

 ucntusmcdiiis ig fi multipHcctur pcr i.cric produc^ijS radix 

 quadraca (> alccr mcdius : proptcrcaquod tam i.^.i^.quam 6. 

 1*8.5 4. funt tres continuc propoitionaics.Sic & in hoc cxem- 

 plo ji.i «:.8.4. 



Atquc li.vc cft inucntio numcri proportionalis intcr datos: 

 vbi duo funt tcncnda. i. Si procrcati numeri ex miiltipUcattone 

 datorum nonfiicrint aut quadrali,aut ctibi,accip!endti fiint radi ■ 

 ces quiim maxime fieri potcft ■vrrirati propinqui.Vx. oblati 1111- 

 meri (int 41 & 5 j pcrtici-pioportionalisprimus cft 4 5,tadix 

 cubica vcritnti fatis piopinqua : ptoportionalis altcr cft 49. 

 1. Medius proportionalis cxaminaadus eft pcrregulam auream. 

 Ita enim proportiomanifcftatur.Sicintcr ji&4,mcdi| pro- 

 portion.ilcs funt i A & 8. quiafub ratione dupla continuc pro- 

 porcionamur. 



7 C A v\'y 



Numerus 

 ri«ponio- 

 nalii vt jn- 

 ueniatui in 

 tubis ; 



