44 Die inatheiiiatischen Grundlagen (Zinseszinsrechuung). 



Formel III. Geht eine Rente r am Schlüsse jedes Jahres 

 fortdauernd (ewig) ein, so ist der Kapitahvert derselben bei 

 einem Zinsfuß von p% oder: 



K = — r . (Kapitalisierungsformel) (III) 



und hieraus r = K . 0,0 p (Rentierungsformel). 



Beweis. 1. Es ist nach Formel II der gegenwärtige Wert der 

 Rente r, welche eingeht 



am Schlüsse des 1. Jahres . 



r 



3. 



1,0 p ' 



r 

 1,0 p2 ' 



r 

 1,0 p3 ' 



usw. bis zum Jahre 

 Demnach ist 

 K = 



r 



1,0 p ' l,Op-^ ' 1.0 p3 ' 

 Die reclite Seite der Gleichung bildet eine fallende unendliche 



geometrische Reihe, worin a = , ^ . q =: — - — ist : durch Sub- 



1,0 p 1,0 p 



stitution in S = a . — wird 



1 — q 



1 1,0 p 



^'^P 1 1,0p — 1 1,0 p — 1 0,0 p 



~ 1.0 p 1,0p 



Die Herleitung der Kapitalisierungsformel auf diesem Wege, d. h. mittels 

 Anwendung der Zinseszinsrechnung und Diskontierung, ist besonders hervor- 

 ziüieben, da der Waldrentierungswert avif dieser Formel beruht und somit auch 

 eine Funktion der Zinseszinsrechnung ist. 



2. Direkter erhält man die Formel aus der Proportion : 



p : 100 ^ r : K, 

 woraus 



1 



100 r. 

 100 . r 100 



0,0 p 



100 100 



