46 Die mathematischen Grundlagen (Zinseszinsrechnung). 



r r 1 



"^^ ^ ~ TT» — n~' ^1 ~ ^ , wird durch Substitution in S = a. 



K = 



1,0 p" ' ^ 1,0 p" ■ 1 — q 



r 1 r 1 r 



1.0 p" I 1,0 p" ■ 1,0 p"— 1 1,0 p»— 1 



1,0 p" 1,0 p" 



Aus Formel 111 und IV ergibt sich: Eine jährliche Rente 

 wird kapitalisiert durcliDivision mit 0,0 p, eine periodische 

 (aussetzende) Rente durch Division mit 1,0p" — 1. Formel IV 

 geht über in 111, wenn man in IV u = 1 setzt, da 



r r 



1,0 pi— 1 "" 0,0 p ' 

 Anmerkung 1. Ein mit Zinseszinsen werbendes Kapital muß nach u Jahren 

 auf eine solche Höhe angewachsen sein, daß außer dem Kapitale selbst noch 

 die Rente r vorhanden ist. Nach u Jahren ist die erste Etappe des Produktions- 

 prozesses abgeschlossen. Von da ab fängt das Kapital von neuem an zu werben, 

 um nach 2 u Jahren derselben Aufgabe gerecht werden zu können. Die Rente r 

 kommt also den Zinseszinsen gleich, welche ein Kapital K immer im Zeitraum 

 von u Jahren aufbringen kann. Mithin ist : 



r = K . 1,0 p" — K = K (1,0 i)U —1), 



ferner: = 1,0 p" — 1 und [- 1 = 1,0 p". 



K ^ K ^ 



r 



Aninerkun"' 2. Der Ausdruck läßt sich auch in der Form 



1,0 p"— 1 



r r 



I , „ 9ii I , « 5ii I , „ 11 I , ., 11 I . „ 11 I , „ 9ii ^^ 



1,0p" ' l,0p2" l,0p2" '" 1,0p" l,0p"\l,0p" l,0p2" ^ 



Mit Hilfe dieses Ausdruckes kann die Formel des Bodenertragswertes in 



eine andere Form gebracht werden. 



Beispiel. Eine mit Fichten bestockte Fläche liefert alle 100 Jahre einen 



Haubarkeitsertrag von 10 000 M.; welchen Kapitalwert repräsentieren diese 



Nutzungen gegenwärtig, wenn p = 3 "^q? (vgl. das Beispiel bei Formel II). 



10 000 

 Antwort: K = — — rrr— — = 10000.0,05489 = 548,90 M. 

 1,03^"° — 1 



Hier handelt es sich um eine immerwährende periodische Einnahme, beim 

 Beispiel der Formel II um eine einmalige. 



Der Wert von —— — ist in Tafel III direkt angegeben. 



1,0 p" — 1 ^ ° 



Formel V. Eine Rente, Avelche zum erstenmal nach m 



Jahren und von da ab alle u Jahre fortdauernd eingeht, 



hat den gegenwärtigen Kapitalwert von 



r 1 n"— m 



« = -ä9=^ *^> 



(Kapitalisierung von üurchforstungserträgen) . 



