Die Formeln der Zinseszinsrechnung. 49 



Beweis zu a. Es ist der Weit der Rente, welche eingegangen ist 

 am Schlüsse des Jahres n = r, 



(11 — 1) =r.l,Op, 



.. (n — 2) =r.l,0p2, 



.. 2 -r. 1,0p" -2 



1 =r.l,Op"-i, 



daher K = r + r 1,0p + r 1,0p- + . . . r 1,0p»- i . 



Da diese Reihe steigend und endlich ist, gilt hier die Summen- 



q" — 1 



formel S = a . — - , worin a = r, q = 1,0 p iind n = n ist 



q — 1 



(nicht n — 1 !) ; daher 



_ 1,0 p» — 1 _ r(l,0p" — 1) 

 ~ ^' 1,0p — 1 " 0,0p 



Beweis zu b. 1. Man diskontiert den Endwert in a) auf die Gegen- 

 wart durch Division mit 1,0 p". 



2. Es ist der gegenwärtige Wert der Rente r. welche eingehen \\'ird 



r 



am Schlüsse des 1. Jahres = 



(n — 1). 



1,0 p ' 



1,0 p2 



1,0 p*»-! ' 



r 



n. 



1,0 p" • 



r r r r 



daher k = — — 1 ' \- . . 



1,0 p ' 1,0 p2 ' 1,0 p3 ' •■ 1,0 p" 

 Diese Reihe ist fallend und endlich, daher 



1 



S 



1 — q" _ r 1,0 p" _ r(l,Op" — 1) 



1— q ~ l,Op ' 1 ~ 1,0 p". 0,0 p 



"~ 10 p 



Man merke sich den praktischen Wink, daß das letzte Glied in Prolongierungs- 

 reihen den Exponenten n — 1, in Diskontierungsreihen den Exponenten n hat; 

 die Anzahl der Glieder ist aber in beiden Fällen = n. 



Beispiel. Eine Wald\A-iese ist um 30 M. jährlich auf 20 Jahre verpachtet. 



ad a) Welchen Wert hat diese Einnahme am Ende der Pachtporiode, wenn 

 p = 3%? 



F. ml res, Waklwertrei-linuiig uml Forststatik. 2. Aufl. 4 



