AVERTISSEMENT-PREMIÈRE PARTIE-LIVRE DEUXIÈME. XXXIII 



Ce qui précède, nous permet d'indiquer la portée du théorème de Huygens. 

 En effet, Ton résultat eft équivalent à celui qui fut obtenu par Lagrange; il donne 

 lieu à la relation (2) et inverfement peut en être déduit "). La téorie géné- 

 rale du fyftème optique peut donc auffi être obtenue par la combinaifon des for- 

 mules (i) avec le théorème de Huygens. Et c'est ce qui fut établi par BolTcha à 

 la place citée plus haut. 



Tandis donc qu'il y a équivalence entre les règles de Lagrange et de Huygens, 

 on eft arrivé plus tard à des extenfions de ces règles à des cas plus généraux. 

 D'abord on a montré que fi les indices de réfraélion «, et «, du premier et du 

 dernier milieu font inégaux, il faut remplacer la relation (2) par ' ' 



(3) ^^~^^ — %''> 



r» 



auquel cas le théorème de Huygens prend la forme fuivante: Si y, efl: l'angle fous 



*) Considérons deux points P et Q quelconques, situés à des distances infiniment petites de l'axe 

 OX et ayant pour coordonnées Xp et 3'p et Tq et Jq; la coordonnée Xq^ étant supérieure à x^. 

 Soient P<j et Qq les projections de ces points sur l'axe. 



Il y a un rayon déterminé qui passe par P avant son entrée dans le système optique et 

 par Q après l'avoir parcouru. En effet , les conditions auxquelles un tel rayon doit satisfaire, 

 s'expriment par les équations: . ■ : • 



lesquelles, combinées avec les formules (i) ^^^ texte, pehnettent de calculer ç»! , v, , <jPa > 7a« 

 On trouve: 



_ ^^Qyp + ^3'p — yQ . ^ bxf 3'q + (jad — bc) :yp — a^(^ 

 * bx-çX(^-\- dx^ — axq—c^ * bxpXq-\-dxp — axq — c ' . 



Si dans la deuxième de ces équations on pose yp==^, yq = o, on aura l'angle j'q, sous 

 lequel un objet de la grandeur A, situé en P^, est vu quand l'œil se trouve au point Qq; seule- 

 ment , il faut changer le signe si l'on veut que /q soit positif quand l'image est droite et néga- 

 tifdans le cas contraire. 



Pareillement — en remarquant que la marche des rayons peut être renversée — on peut 

 déduire de la formule pour <î>i l'angle yp sous lequel l'objet de grandeur ^sera vu du point 

 Pq. Il faut pour cela poser ^q = /^, rp = g dans cette formule sans qu'il y ait lieu de changer 

 le signe. 



Les valeurs qu'on obtient, à savoir: 



., ^ C^d— bc')h _ \. . h .,,tb 



'" bxpXqA^dxp — axq—c'''^ bxpXq-\-dxp — axq — c' 



satisfont à la relation : . ' " 



yq:y^=ad—bc'^ t 



ce qui nous fait voir que le théorème de Huygens (yp^^Q) et celui de Lagrange (ad — bc= i) 

 reviennent au même. 



