30 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1653. 



AC: CB eft plus petit que le rapport AD: DB. Mais ici nous avons pofé AD: 

 : DB < AC: CB. Par conféquent AD n'eft pas plus petite que AC. Elle ne lui eft 

 pas non plus égale , vu que BC et BD font par hypothèfe différentes Tune de l'autre. 

 Donc AD > AC. Ce qu' il fallait démontrer. 



Lemme 5. 



Soit une ligne droite AB divifée en C de telle manière que 

 AC>CB. Prolongeons cette droite du côté B, et foit AD: 



:DB = AC : CB. Décri- 

 [Fig. 1(5.] vons avec CD comme 



diamètre la circonfé- 

 rence de cercle CED. 

 Si des lignes droites 

 AE, BE font menées d'un 

 point quelconque E de 

 cette circonférence, je 

 dis q u' o n aura AE : EB = 

 = AC:CB.Celaa été dé- 

 montré par Eutocius 

 dans fon Commentaire aux Coniques d'Apollonius^). Et 

 mieux parle profeffeur Fr. van Schooten, dans fa reftitution 

 des lieux plans d'Apollonius 3). Mais fi un point, tel que H, 

 eft pris en dehors du cercle, et que ce point eft réuni par 

 des droites à A et à B, je dis qu'on aura AH: HB < AC: CB. 



En effet, tirons la droite AK, K étant le point où la droite BH coupe la circon- 

 férence. On a donc AK: KB = AC : CB ; partant AK > KB. C'eft pourquoi, fi 

 l'on ajoute des deux côtés KH, on aura AK + KH : HB < AK: KB. Mais HA < 

 < HK + KA , ou HA = HK + K A , fi H eft pris fur la ligne CD prolongée du 

 côté D. On aura donc auffi AH : HB < AK : KB, c'eft-à-dire < AC : CB. Ce qu'il 

 fallait démontrer. 



Si nous prenons au contraire un point tel que L à l'inté- 

 rieur de la circonférence, et que nous joignons ce point par 

 des droites à A et à B,je dis qu'on aura AL: LB>AC: CB. 



En effet, fuppofons que le prolongement de BL rencontre la circonférence 

 en M. Joignons les points A et M. On a donc AM: MB = AC: CB, et par 

 conféquent AM > MB. Mais AL + LM>AM, l'égalité ayant lieu fi le point 

 L eft pris fur la ligne BD. Par conféquent, on aura auffi AL + LM > MB. 



