58 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE I. 1 653* 



A et X, car nous avons déjà démontré que ce point tombe entre A et C. Mais 

 nous avons fait voir que le point T efl: plus éloigné du point A que le point V. Il 

 èft donc évident que la circonférence QBT coupe la circonférence APH entre A 

 et P. C'eft ce qui reftait à démontrer. 



Suppofons maintenant que le rapport DC : CH efl: plus petit que l'indice de 

 réfraélion , c'eft-à-dire que CR : RA. Et foit le point D fitué, foit en-dehors de la 

 circonférence ABH [Fig. 24] , foit en-dedans de cette circonférence [Fig. 25] , 

 de telle manière toutefois que ce point foit plus éloigné du point A que le centre 

 C. Car fi ce point efl: fitué entre A et C, on aura encore un autre cas particulier 

 que nous examinerons bientôt. FB étant un rayon qui fe dirige vers le point D ') 

 et qui, après la réfraélion, rencontre l'axe AC au point L, je dis que L efl: plus 

 éloigné de A que le point S. En effet, joignons B et S et menons CM parallèle à 

 FD; fuppofons que cette parallèle rencontre les prolongements de BS et de 

 BL en Z et en M refpeélivement; et prenons un point E tel que DA : AS = 

 = DE : ES. Si alors le point D efl: pris à l'intérieur de la circonférence ABH , le 

 point È lui aufli tombera nécefl^airement à l'intérieur. Mais fi le point D efl pris 

 en-dehors de la dite circonférence, le point E tombera néanmoins à l'intérieur, 

 comme cela réfulte de la démonftration fuivante. 



Vu que DC : CH ou DC : C A < CR : R A , on aura aufli par permutation 

 DC : CR < CA : AR et, par compofition, DR : RC < CR : RA; c'eft pourquoi 

 le rapport du refte DC au refte CA fera plus petit que le rapport DR : RC ou DA : 

 : AS ; l'égalité de ces deux derniers rapports fe démontrant de la même manière 

 que dans le cas précédent''). Or, on a par conftruélion DA : AS = DE:ES , 

 donc aufli (AD + DE) : (AS H- ES) (ou AE) = DA : AS. Par conféquent, DC : 

 : C Aou DC : CH < (AD -f- DE) : AE, et, par partage, DH : HC < 2DE : EA. 

 Et, en prenant le double du deuxième et du quatrième terme DH : HA < 2DE : 

 : 2EA ou DE : EA. Le point E tombera donc à l'intérieur de la circonférence ABH. 

 Dans les deux cas nous continuerons à raifonner de la façon fuivante. Vu que le 

 point E tombe entre A et H, le point B fera en-dehors d'une circonférence décrite 

 avec AE comme diamètre. Or, DA : AS = DE : ES. On aura donc DB : BS < DA : 

 Lem. 5. : AS *. De plus DB : BS r= CZ : ZS, et D A : AS = DR : RC. On a donc CZ : ZS < 

 < DR : RC. Or, le rapport DR : RC eft égal au produit des rapports DR : RA 

 et RA : RC, dont le premier eft égal à DC : CS, vu que par conftruétion DR : 

 : DA=:DC : DS. Par conféquent le rapport CZ : ZS fera plus petit que le pro- 

 duit des rapports DC : CS et RA: RC. Or, le rapport CZ : ZS eft égal au produit 

 des rapports CZ : ZB et ZB : ZS. En divifant des deux côtés par des rapports 

 égaux , favoir par BZ : ZS d'un côté et par DC : CS de l'autre , le rapport 

 reftant, favoir CZ:ZB, fera auflî plus petit que le rapport RA : RC. Et, 



^) Ce qui suit se rapporte également aux deux cas représentés par les figures 24 et 25; lesquelles 

 on peut consulter indifféremment l'une ou l'autre. 



