IC^8 TRAITÉ. DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653, 



Proposition VI. 



Lorsqu' un objet eft vu à travers un nombre quelconque 

 de lentilles, et qu'on intervertit les pofitions de l'oeil et de 

 l'objet tandis que les lentilles demeurent en place, la gran- 

 deur apparente de l'objet fera la même et l'image aura la 

 même pofition, droite ou renverfée '^). 



^) Ce théorème fut mentionné pour la première fois dans une lettre à Kinner à Lôwen- 

 thurn du 16 déc. 1653 (p. 261 du T. I). Comme Bosscha l'a remarqué (^Arch, Néerl, 

 V Sér. T. XXIX (1896), p. 394) il constitue bien certainement le premier théorème trouvé 

 et publié (en 1703) qui s'applique à un système centré quelconque de lentilles et de plus il 

 contient en germe toute la théorie d'un tel système. Pour le reconnaître il suffira déconsi- 

 dérer (avec Bosscha) sur l'axe d'un système C . . . D , six points successifs A , B , C , D , E, 

 F, dont C et D représentent les lentilles extrêmes, E l'image de A , F celui de B. Posons 

 alors A C == X , BC = x' , DE = 3» , DF = y'. Si donc un objet de hauteur h est placé en A , 

 l'oeil, que nous supposons se trouver en F, verra l'image formée en E sous un angle GA: 

 : (3;' — 3;), lorsque G est l'agrandissement. Si, au contraire, le même objet se trouve en F, 

 l'oeil en A, il se formera une image en B qui se montrera à l'oeil sous un angle h:Qi' {x — j:'), 

 lorsque G' est l'agrandissement de l'image en F d'un objet qui se trouverait en B. Or, d'après 

 le théorème de Huygens, ces deux angles sont égaux. On a donc GG' = (j' — '§) : (a; — x'\ 



Pour introduire ensuite dans cette équation les constantes du système , on pourra supposer 

 que l'objet se trouve placé en C , contre l'objectif, que l'image se forme alors à une distance 

 Or, en arrière de D et que son agrandissement soit G^. En introduisant ces deux constantes de 

 l'appareil dans la formule au lieu de j' et de G', on aura GG^ = ((?a — 'i)''X. De même, si 

 nous supposons que l'image se forme en D , la distance de l'objet à C sera une autre constante 

 du système que nous désignons par 0^. Il en sera de même de l'agrandissement Gj de l'image 

 en D. On aura donc encore GG, = — 3':(x — o,). De ces deux dernières équations on 

 peut éliminer soit G , soit x , et arriver de cette manière à des formules de la forme r -f- ^Jc -j- 

 \- c'j -\- pxrj = otX.G=^s-\-py qui suffisent pour résoudre tous les problèmes relatifs au 

 lieu et à la grandeur des images, ou plus généralement à la marche d'un rayon à travers le 

 système. Quanta la signification optique des constantes Oj, 0^, Gj et G^ et quelques autres con- 

 sidérations qui se rapportent à ce qui précède nous renvoyons à la note originale de Bosscha. 



Voici, d'ailleurs, une démonstration du théorème de Huygens pour le cas général où 

 l'indice de réfraction « et le rayon de courbure R des surfaces de densité égale varient con- 

 tinûment le long de l'axe. 



Soient X et y les coordonnées cartésiennes des points d'un rayon, x étant compté le long de 

 l'axe et 3» perpendiculairement sur lui. Soient P_, Çx — Aa:,3/-i), P (x,3i), P4., (a?-|- ^•'c', 

 3? + i) trois points consécutifs du même rayon, où les indices sont n_i ,n,n + ,. Remplaçons 

 d'abord la distribution continue de la matière transparente par une autre où l'indice change 

 subitement à la surface de densité égale qui passe par P de la valeur !(«— i -j" «) à la valeur 

 i («-}-«+ i); on aura alors , négligeant les infiniments petits de second ordre: 



iC»-. + »)C^+i)=5(« + «..)(ii2^+i) 



On en déduit ensuite par les substitutions : 



