2 l 6 TRAITÉ DE LA RÉFRACTION ET DES TÉLESCOPES. LIVRE II. 1653. 



AO efl: inférieure au quart de DE, le reélangle AO, DE fera excédé d'une cer- 

 taine quantité par le quart du carré DE, c'eft-à-dire par le reétangle DAE. 

 Prenons une longueur Aadont le carré foit moindre que cette quantité, et plaçons 

 la lentille en ce. Je dis que l'image de l'objet placé en E fera renverfée. En 

 effet, fuppofons les autres conftruélions faites comme dans les cas précédents. 

 Vu que DE eft alors divifée en deux parties égales par le point A et en deux 

 parties inégales par le point u, le carré Aa, fera égal à l'excès du reélangle DAE 

 fur le reétangle D^E. Mais le même carré A<z eft plus petit que l'excès du 

 reétangle DAE fur le reélangle DE, AO, d'après notre conftruétion. Ce der- 

 nier excès eft donc plus grand que le précédent, et, par conféquent , reélang. 

 DE, AO < reétang. DaE. C'eft pourquoi le rapport DE : Ecc eft plus petit que 

 le rapport ccD : AO (ou aw). Et, par converfion, ED : Doc > ccD : Dey. Mais 

 ttD : Dec =. ciD : Dû». Par conféquent, ttD < ED. Or, tt eft le point conjugué 

 avec le point D, où fe trouve l'oeil, par rapport à la lentille placée en a. L'image 

 de l'objet fera donc néceftairement renverfée d'après la prop. III ^). C'eft ce 

 qu'il fallait démontrer. Par conféquent , la lentille, pour donner une image ren- 

 verfée, pourra également être placée au-delà du point milieu A dans un inter- 

 valle égal à celui où elle peut être placée en-deçà de ce point. C'eft ce qui eft 

 évident d'après le théorème . . . ^). 



Or, on peut faire voir de la manière fuivante que la lentille, placée précifément 

 au point milieu A, donne auflî des images renverfées. Les longueurs DO, D A 

 et DP forment une proportion continue, où DO > |^D A, attendu que AO < ^DA. 

 Il en réfulte que DA eft plus grande que | DP, et par conféquent DP < DE. Or, 

 P eft le point conjugué avec le point où fe trouve l'oeil, par rapport à la lentille 

 placée en A. Par conféquent, dans cette pofition la lentille donne une image ren- 

 verfée de l'objet placé en E. 



Refte à faire voir que l'image aperçue à travers la lentille placée au point 

 milieu A eft plus petite que l'image aperçue à travers la lentille placée en a. 

 Cela fera démontré lorfque, contrairement à ce qui a été prouvé antérieure- 

 ment, nous aurons fait voir que le reétangle OD, EP eft plus grand que le 

 reftangle cyD, Et. Comme le point P tombe ici entre o- et E 3), le reétangle 

 OD, EP fera égal à l'excès du reftangle OD, <rE fur le rcélangle OD, o-P, c'eft- 

 à-dire à l'excès du carré OD fur le carré OA. En eifet, nous avons démontré 

 plus haut 4) que le reétangle OD, <rE eft égal au carré OD , et le reétangle OD, 

 o-P au carré AO. Mais le reélangle wD, Ett fera égal à l'excès du reélangle wD, 

 AE fur le reélangle wD, At, c'eft-à-dire à l'excès du reélangle wD, AE fur le carré 

 AO. En effet, nous avons démontré également "*) que le reétangle wD, A^rcft 

 égal au carré ccu ou AO. Or, le carré OD eft plus grand que le reélangle wD, 

 AE: cela fe démontre de la même manière que dans le premier des cas précé- 



*) Voir la p. 1 8 1 du Tome présent. 



