546 Simerka. 



, x+y + z — X + !/_±J x — H + z x + y — z 

 -"■ = Y^ i 2 2 ' 



was bei l = v — 1 



-X -]- y -\-z —x-\-y + z x — y -\- z x -j- y 



ai 



. j /- roo -j- y -\- z —x-\-y-\-z x — y -\- z x -^ y — z -\ 



'= y [—2 1 2 ^"j 



liefert. 



Wie die Geometrie lehrt, gleicht das zweite Glied der 

 letzten Gleichung der Fläche eines ebenen Dreieckes^ dessen 

 Seiten x, y, z sind. Für den Inhalt einer derartigen Figur ist 

 daher auch der imaginäre Ausdruck ai anzusehen. Aber so 

 ein Dreieck ist Niemandem möglich zu verzeichnen, da darin 

 eine Seite (x) grösser ist als die Summe der zwei anderen 

 Seiten (y -\- z). Eine solche Figur, und hiemit auch ai, existirt 

 daher nur in unserer Einbildung (in unserem Gemüthe), und 

 es entspricht ihr ausserhalb derselben kein wirklicher Gegen- 

 stand (Nr. 1, b). Mathematiker, die einen Ort, den Niemand 

 finden kann, und ein Geld, von dem es Jemandem geträumt 

 hat, für real ansehen, werden freilich consequenter Weise auch 

 solche Dreiecke real nennen; nach den hier angeführten Grund- 

 sätzen kann dies jedoch nicht geschehen. 



b) Wenn wir aber auch die ausser unserem Gemüthe 

 liegende Bedeutung von ai unberücksichtigt lassen, so kann 

 trotzdem diesem Ausdrucke die Benennung , Grösse' nicht bei- 

 gelegt werden, weil dem i = Y^ — 1 die Haupteigen schaft der 

 Grössen, nämlich die Setzbarkeit (Gleich kann für Gleich ge- 

 setzt Averden ; mit Gleichem können gleiche Operationen vor- 

 genommen werden) abgeht. Die Formel e '" = cos x -{- i sin x, 

 woraus Moivre seine schönen Lehrsätze abgeleitet hat, liefert 

 nämlich für a? = 2 tt, wo also cos 2 t: = 1, sin 2:: = wird, 

 e^*^= 1. Nimmt man hie von die natüi-lichen Logarithmen, so 

 gelangt man wegen Z e '"= 2i'Kle = 2ir, = / 1 =0 zu i = 0. 

 Wegen i- = — 1 müsste daher gleich — 1 sein. Ebenso würde 



i = in Folge i = ;^ sich selbst + oo und wegen i = — 



t3 



zu — oo machen. 



Zu ähnhchen Absurditäten gelangt man auch dann, wenn 

 i durch Reihen, z. B. i — [a — (a -\- 1)]^, oder wegen cosx = 



