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und ihre Sinuse 



. , 3+i . „ 21 + 3i . ^ 6 — 2t 



sin Ä = , sm ij = , sm C =: — —. 



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Spricht man nun dem Imaginären und Complexen den 



Rang des Realen zu, so ist leicht zu ersehen, dass es auch 



complexe Vier- und Mehrecke, Curven, sphärische Dreiecke, 



geometrische Körper u. dgl. gibt, die sich gut verrechnen 



lassen, dasg man also eine umfangreiche complexe Geometrie 



verfassen könnte. Ihre Resultate würden jedoch complex, d. h. 



völlig unbrauchbar sein. 



e) Darnach sind die Resultate aus Rechnungen mit dem 

 Imaginären und Complexen von dreierlei Art: Entweder stellen 

 sie wahi'e und brauchbare Sätze dar, die sich auch auf andere 

 Weise darthun lassen. Die Ableitungen sind dabei meist be- 

 deutend kurz, und nach c) braucht man sich nicht vor Irr- 

 thümern zu fürchten. Der Grund hievon liegt darin, dass sich 

 im Verlaufe der Operationen ^, anstatt dessen man sich auch 

 Kt denken kann, hebt. Oder sind die Resultate complex, d. h. 

 unbrauchbar. Dieser Umstand stimmt mit Nr. 15 überein, und 

 man kann ihn in Worten durch ,wie die Annahme, so die Folge' 

 ausdrücken. Die Verrechnung pflegt hiebei beschwerlich zu sein. 



Ueberdies kann man auch bei einem solchen Calcül in 

 Widersprüche gerathen, Avas nach b) dann geschieht^ wenn 

 die verschiedenen Werthe von i einander gleich gesetzt werden. 

 In dieser Hinsicht hat i mit Null einige Aehnlichkeit, indem 

 durch im Allgemeinen keine Gleichung und kein Bruch ge- 

 kürzt werden darf, und man den Werth von nur dadurch 





 findet, dass man sich statt eines Differentials bedient. 



f) Es entsteht nun die Frage, wofür man a -\- bi anzu- 

 sehen hat, da es keine Grösse ist! 



Die älteren Mathematiker hielten es für ein Zeichen der 

 Unmöglichkeit, indem die Bedingungen einer Aufgabe, die ge- 

 löst 02 = a -f bi gibt, einander widersprechen. In dieser Hin- 

 sicht ist es kein leeres Phantom, sondern ein werthvoller mathe- 

 matischer Gegenstand. Es gibt jedoch für diesen l^egi-iff noch 

 ein bestimmteres Genus proximum. 



Ettingshausen nennt in seiner ,Combinatorischpn Analysis' 

 (Wien 1826) S. 281 die Facultäten mit negativen oder ge- 



