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calculs basés sur des données rigoureuses. 



On s'en lient alors à la première des deux 

 opérations que j'ai indiquées, et on consi- 

 dère la tangente directrice qu'elle détermine, 

 comme celle d'un grand cercle peu éloignédu 

 véritable équateur du Système, et propre û 

 le remplacer provisoirement. C'est en par- 

 tie afin que cette substitution présente le 

 moins de chances d'erreur possible que le 

 centre de réduction, qui doit devenir un des 

 points de cet équateur provisoire, doit être 

 placé dans la position la plus centrale pos- 

 sible par rapport à l'ensemble des points 

 d'observation. 



L'opération doit toujours commencer par 

 mener d'un point central de réduction, que 

 l'adresse de l'opérateur consiste à choisir le 

 mieux possible, des sécantes parallèles à tous 

 les petits arcs observés , à déterminer les 

 angles formés par le méridien astronomique 

 du point qu'on a choisi comme centre de ré- 

 duction avec les arcs du grand cercle que 

 sous-tendent ces sécantes, et à prendre en- 

 suite la moyenne de tous les angles ainsi 

 déterminés. 



Or, cette moyenne peut être obtenue très 

 facilement avec une approximation suffi- 

 sante. 



En effet, pour déterminer le grand cercle 

 qui, partant du point pris pour sommet du 

 faisceau des sécantes, ou pour centre de ré- 

 duction, renferme dans son plan la sécante 

 parallèle à un petit arc observé en un point 

 donné, il suffit de joindre ce dernier point 

 au centre de réduction par un arc du grand 

 cercle, qui forme la base d'un triangle sphé- 

 rique, dont les deux autres côtés sont les 

 portions du méridien du centre de réduction 

 et du point d'observation considéré, compris 

 entre ces points et le pôle de rotation de la 

 terre. On résout ce triangle, et on connaît 

 ainsi l'angle formé, par l'arcde jonction des 

 deux points avec leurs méridiens respectifs ; 

 on peut aussi déterminer la longueur de 

 cet arc. 



On résout ensuite le triangle sphérique 

 rectangle, dont ce même arc est l'hypothé- 

 nuse, et dont l'un des côtés de l'angle droit 

 est la moitié de l'arc sous-tendu par la sé- 

 cante , qui correspond au point d'observa- 

 tion qu'on a considéré. On arrive ainsi à 

 connaître la longueur de l'arc sous-tendu 

 par cette sécante, et l'angle formé par cet 



T. XII. 



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arc et le méridien du point choisi comme 

 centre de réduction. 



Ayant répété la même opération pour 

 tous les points d'observation, on connaît les 

 angles formés avec le méridien du centre de 

 réduction par tous les arcs sous- tendus par 

 les sécantes , et on n'a plus qu'à exécuter 

 un simple calcul arithmétique. 



Lorsqu'on doit s'en tenir à cette pre- 

 mière partie du travail , à celle qui déter- 

 mine la tangente directrice, l'opération que 

 je viens d'indiquer peut recevoir, sans in- 

 convénient, de grandes simplifications, qui 

 la rendent d'une pratique très facile. 



On n'a plus besoin alors de connaître la 

 iongueur de l'arc sous-tendu par chaque 

 sécante; il suffit de connaître l'angle qu'il 

 forme avec le méridien du centre de réduc- 

 tion. Cet angle lui-même n'a pas besoin 

 d'être calculé directement; on peut se bor- 

 ner à le supposer égal à celui que forme le 

 petit arc observé au point d'observation au- 

 quel la sécante correspond avec le méridien 

 de ce point, après avoir augmenté ou dimi- 

 nué cet angle d'une quantité égale à la 

 différence des angles alternes internes que 

 forme l'arc de jonction du centre de réduc- 

 tion et du point d'observation avec leurs mé- 

 ridiens respectifs. 



Cette différence est connue par la résolu- 

 tion du triangle sphérique dont ces deux 

 points et le pôle de rotation de la terre 

 constituent les trois sommets , et c'est la 

 seule quantité pour la détermination de la- 

 quelle on ait besoin de recourir aux for- 

 mules de la trigonométrie sphérique. Il est 

 vrai que cette simplification introduit une 

 inexactitude; l'angle formé par le méridien 

 du centre de réduction avec chacun des arcs 

 sous-tendus par les sécantes, se trouve 

 augmenté ou diminué d'une quantité égale 

 à l'excès sphérique (1) des trois angles du 

 triangle sphérique rectangle dont la moitié 

 de cet arc forme un des côtés de l'angle 

 droit, et dont l'arc de jonction du centre de 

 réduction avec le point d'observation corres- 

 pondant forme l'hypothénuse. Mais il est 

 aisé de voir que, dans la moyenne finale, les 



(i) Voyez, pour la définition et le calcul de Vexées sphé- 

 rique de la somme des trois angles d'un triangle sphértyie , 

 la Géométrie de Legcndre, et les notes qui font suite à s;i 

 Trigonométrie (Géométrie et Tr^onomrlrie de Ltgem'rt , 

 10* édit., p. J2i et 42<). 



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