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cette surface présente a nos regards, et par 

 l'habitude de la voir représentée sur des 

 cartes géographiques qui sont des feuilles 

 de papier planes. 



Pour nous bien rendre compte des erreurs 

 qui peuvent résulter de cette substitution 

 du plan tangent à la surface sphérique , 

 analysons d'abord une opération très simple. 



Lorsqu'on veut planter une longue et 

 large avenue, telle par exemple que celle 

 des Champs-Elysées à Paris , on commence 

 par en fixer la ligne médiane avec des jalons 

 alignés; puis aux deux extrémités de cette 

 ligne médiane, on lui élève de part et 

 d'autre des perpendiculaires d'une longueur 

 égale à la moitié de la largeur de l'avenue, 

 et on fixe ainsi les deux extrémités des deux 

 files d'arbres qui doivent la composer ; enfin 

 on aligne tous les arbres de chaque file 

 d'après leurs points extrêmes. 



Si l'opération est exécutée avec une ri- 

 gueur mathématique, chacune des deux 

 files d'arbres est un arc de grand cercle et 

 ces deux arcs font partie d'un fuseau dont 

 le milieu de la ligne médiane est le centre. 

 Ils n'ontde rigoureusement parallèlesque les 

 deux éléments situés au milieu de leur lon- 

 gueur. Prolongés l'un et l'autre à chacune 

 de leurs extrémités par une suite de jalons, 

 ils iraient se rencontrer aux deux extrémités 

 opposées d'un même diamètre de la sphère 

 terrestre; prolongés par leurs tangentes ex- 

 trêmes, ils se rencontreraient aussi à des 

 distances qui, sans doute, seraient très 

 grandes, mais qui ne seraient pas infinies. 



On pourrait se proposer de mener par 

 l'extrémité de l'un de ces arcs une ligne 

 exactement parallèle à l'extrémité corres- 

 pondante de l'autre arc, et de déterminer 

 quel angle ferait cette ligne avec l'extrémité 

 du premier arc. On aurait ainsi la mesure 

 du plus grand défaut de parallélisme qui 

 existe dans la figure. 



Cette détermination peut se faire de deux 

 manières: par les formules ordinaires de la 

 trigonométrie sphérique, ou par cette con- 

 sidération que l'angle cherché est égal à 

 Vexcès sphérique de la somme des trois an- 

 gles d'un triangle sphérique rectangle, où 

 les côtés de l'angle droit sont un des côtés 

 de l'avenue, et la perpendiculaire abaissée 

 sur ce côté légèrement prolongé de l'extré- 

 mité du côté opposé. 



SYS 



Prenons un exemple, et le calcul même 

 éclaircira cette double proposition. 



Supposons que l'avenue dont il s'agit ait 

 1,000 mètres de longueur et 30 mètres de 

 largeur. La diagonale de cette avenue for- 

 mera, avec l'un des côtés et avec la perpen- 

 diculaire abaissée sur celui-ci de l'extrémité 

 de l'autre côté, un triangle sphérique rec- 

 tangle où les deux côtés b et c de l'angle 

 droit seront : 1° b, l'un des côtés de l'ave- 

 nue , dont la longueur est de 1 ,000 mètres, 

 prolongé d'une quantité négligeable; 2°c, 

 la perpendiculaire abaissée de l'extrémité 

 du second côté de l'avenue sur le premier 

 légèrement prolongé, perpendiculaire dont 

 la longueur ne différera pas sensiblement 

 de 50 mètres. 



Pour déterminer en degrés, minutes et 

 secondes les valeurs de b et c, on aura 



33" ,4. 



Les deux angles aigus B et C de ce trian - 

 gle doivent se déterminer par les formules : 



tangB = 



tang b 



tang C 



tang c 

 sin b 



mais, dans le cas actuel, les valeurs de B et 

 de C, qu'il s'agit de tirer de ces formules, 

 forment une somme si peu différente d'un 

 angle droit, que la différence ne peut être 

 calculée avec les tables de logarithmes or- 

 dinaires , ce qui montre que Vexcès sphé- 

 rique du triangle dont nous nous occupons 

 est à peu près inappréciable. 



En effet, en recourant au second mode 

 de calcul , on trouve, d'après la formule 

 de Legendre (1), pour Vexcès sphérique 

 du triangle que nous considérons : 



R bc sin A 

 £ ■= = 0",00012733, 



c'est-à-dire environ 13 cent-millièmes de 

 seconde sexagésimale, quantité absolument 

 imperceptible; ce qui montre que les deux 



(7) Lf^cmir», Géométrie et Trigonométrie , 10* édition, 

 pajo 426. 



