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côtés de l'avenue, dont nous avons parlé , 

 doivent paraître bien réellement deux 

 lignes droites parallèles. 



Mais l'application des mêmes formules 

 prouve qu'il n'en serait plus ainsi d'une 

 avenue mille fois plus grande; or, les rap- 

 prochements auxquels on se livre de prime 

 abord lorsqu'on veut comparer entre eux , 

 sous le rapport de leur parallélisme, les ac- 

 cidents topographiques d'une vaste contrée, 

 ses chaînes de montagnes , ses côtes, ses 

 rivières, reviennent à peu près à concevoir 

 une avenue très longue et d'une largeur 

 plus ou moins grande, tracée à travers celte 

 contrée, et à examiner si les accidents topo- 

 graphiques que l'on compare pourraient en 

 border les côtés. 



Concevons une pareille avenue de dimen- 

 sions mille fois plus grandes que celle dont 

 nous venons de nous occuper, c'est-à-dire 

 ayant 1000 kilomètres de longueur et 50 

 kilomètres de largeur. 



En raisonnant sur cette avenue exacte- 

 ment comme sur la précédente, nous au- 

 rons à résoudre par les formules : 



„ tang b „ tang c 



tang B = — — , et tang C = — — • 

 sin c sin b 



un triangle sphérique rectangle, dans lequel 

 les deux côtés de l'angle droit seront • 



6=9° = 32400'. 



c = 27/ = 1020". 



on trouvera : 



B= 87* 9' 43" 2S. 

 C = 2° 52' 27'' 30. 



la somme de ces deux angles surpasse 90° 

 de 2' 10", 58, qui représentent Vexcès sphé- 

 rique du triangle rectangle dont il s'agit. 



Calculé par la formule de Legendre, Vex- 

 cès sphérique du même triangle est de 127' 

 33 ou de 2' 7'', 33. La différence de 3", 

 qui existe entre cette solution et la précé- 

 dente tient à ce que la formule approxima- 

 tive, qui donne l'excès sphérique, n'est 

 déjà plus parfaitement exacte pour un trian- 

 gle de 1000 kilomètres de côté. 



Maintenant, si de l'extrémité de l'un des 

 cotés de notre grande avenue idéale on 

 abaisse une perpendiculaire sur le second 

 côté prolongé d'une petite quantité, puis 

 que par l'extrémité du premier côté on 

 mène une perpendiculaire à cette perpen- 

 r. xii. 



diculaire, celle-ci sera rigoureusement pa- 

 rallèle à l'extrémité du second côté, et elle 

 fera avec le premier côté un angle égal à 

 l'excès sphérique que nous venons de calcu- 

 ler, c'est-à-dire de 2' 10'', 58. 



Telle est l'erreur la plus grande que 

 comporte, par suite de la sphéricité de la 

 terre, la construction idéale à laquelle nous 

 avons fait allusion en imaginant la vaste 

 avenue dont nous venons de parler; mais il 

 est à remarquer que Vexcès sphérique des 

 trois angles d'un triangle étant proportion- 

 nel à sa surface, la même construction ré- 

 pétée pour une avenue de 100 kilomètres 

 de largeur comporterait une erreur de 4' 

 21', 16; pour 200 kilomètres de largeur, 

 l'erreur serait de 8' 42" , 32 ; et pour 1 ,000 

 kilomètres de largeur de -43' 31", 6. Elle 

 n'atteindrait un degré qu'autant que l'ave- 

 nue de 1,000 kilomètres de longueur au- 

 rait une largeur de 1,378 kilomètres, c'est- 

 à-dire plus grande que sa longueur. 



La diagonale du quadrilatère sphérique 

 orthogonal , dont le côté est de 1,000 kilo- 

 mètres, estelle-mème d'environ 1,000"' \/2 

 = 1,414 kilomètres, qui font environ 350 

 lieues. Or, il est aisé de voir que l'erreur 

 commise sur le parallélisme de deux lignes 

 passant par deux points donnés de la sur- 

 face terrestre sera la plus grande possible, 

 si ces lignes font, avec la ligne de jonction 

 des deux points, des angles d'environ 45"; 

 car l'erreur est nulle, si les lignes compa- 

 rées sont perpendiculaires à la ligne de 

 jonction des deux points. Elle redevient 

 nulle si les deux lignes coïncident avec la 

 ligne de jonction des deux points. L'erreur 

 maximum correspond évidemment à la posi- 

 tion moyenne entre ces lieux extrêmes, ainsi 

 qu'on peut d'ailleurs le démontrer par la 

 formule même de Legendre. 



De là, on peut conclure que tant que 

 deux points ne sont pas éloignés de plus de 

 1,400 kilomètres ou 350 lieues, l'erreur 

 qu'on peut commettre sur le parallélisme 

 de deux lignes qui y passent, en faisant ab- 

 straction de la courbure de la terre, ne va 

 jamais à 44'. 



Embrassons un espace un peu plus grand 

 encore : concevons que par un point de la 

 surface de la terre on mène deux grands 

 cercles perpendiculaires entre eux qui pour- 

 ront être, par exemple, une méridienne et 

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