186 



SYS 



SYS 



sa perpendiculaire, mais qui pourront avoir 

 aussi une tout autre orientation. A partir 

 du point où les deux grands cercles se 

 coupent à angle droit, mesurons sur chacun 

 d'eux une distance égale à 7°^ du méridien, 

 et par les quatre points ainsi déterminés, 

 élevons des perpendiculaires sur les deux 

 ■ grands cercles. Par cette construction, qui 

 est analogue à celle sur laquelle repose la 

 projection de Cassini, nous formerons un 

 quadrilatère sphérique orthogonal dont les 

 quatre côtés seront égaux, et dont les quatre 

 angles seront de même égaux entre eux, 

 quadrilatère qui se rapprochera d'un carrré 

 autant que peut le faire une figure tracée 

 •sur une sphère. Ce quadrilatère serait même 

 un carré exact s'il était infiniment petit, 

 mais il aura un diamètre égal à 45° du 

 méridien , et ses quatre angles égaux entre 

 eux surpasseront chacun 90" d'une quan- 

 tité qui , répétée quatre fois , formera ce 

 qu'on pourra appeler Vexcès sphérique de la 

 figure entière. 



Maintenant les quatre côtés du quadrila- 

 tère sont rigoureusement parallèles deux à 

 deux dans leurs points milieu ; mais à leurs 

 extrémités ils ne sont plus parallèles , bien 

 que les diagonales fassent avec eux des an- 

 gles égaux; ils s'écartent du parallélisme 

 d'une quantité égale à la moitié de Vexcès 

 sphérique de la figure totale, c'est-à-dire au 

 double de l'excès de chacun des quatre an- 

 gles sur 90°. Il est aisé de voir que cette 

 quantité est égale à quatre fois Vexcès splié- 

 rique d'un triangle sphérique rectangle dont 

 l'un des côtés de l'angle droit est de 7° i, 

 et dont l'un des angles aigus est de 45°. Le 

 second angle aigu C de ce triangle se calcule 

 par la formule cos C — cos c sin B , qui 

 donne cos C = cos 7° 30' sin 45", et C = 

 45° 29' 17". Cet angle excède 45° de 29* 17'', 

 et en quadruplant cette quantité , ce qui 

 donne 1° 57' 8", on a celle dont les extré- 

 mités correspondantes des côtés de notre 

 quadrilatère s'écartent du parallélisme. 



Or notre quadrilatère a une largeur égale 

 à 15° du méridien , c'est-à-dire à environ 

 1,667 kilomètres, ou un peu plus de 400 

 lieues. Il pourrait embrasser la France avec 

 la plus grande partie des Iles Britanniques, 

 de l'Allemagne et de l'Italie septentrionale. 

 Les deux points situés aux deux extrémités 

 d'une de ses diagonales, sont éloignés de 



plus de 2,350 kilomètres ou de près de 

 600 lieues, et cependant l'erreur la plus 

 grande qu'on puisse commettre, en compa- 

 rant des lignes situées aux deux extrémités 

 de cette diagonale de la manière la plus dé- 

 favorable, ne s'élève pas à 2". Ce résultat 

 est conforme au précédent, auquel nous 

 étions parvenu par une voie un peu diffé- 

 rente; car, pour des distances bien éloignées 

 encore d'être égales au quart du méridien , 

 les excès sphériques de triangles semblables 

 auxquels elles servent de base sont à peu 

 près proportionnels à leurs carrés ; or on a 

 ( 1,414 ) 2 : 43' 31",6 : : ( 2,350 ) 2 : x = 

 2°0'13", proportion dont le quatrième 

 terme ne diffère de 1° 57' 8" que de 3' 5'' , 

 et cette différence vient , en partie, de ce 

 que je n'ai calculé que d'une manière ap- 

 proximative les diagonales dont j'ai comparé 

 les carrés. La diagonale de 2,350 kilomètres 

 est à peu près égale à la distance de Lis- 

 bonne à la pointe nord de l'Ecosse , ou de 

 Naples à Christiania. On peut conclure de là 

 que lorsque l'on comparera entre elles des 

 directions observées dans l'Europe occiden- 

 tale moyenne, en négligeant l'effet de la 

 courbure de la terre, mais en tenant compte 

 de la convergence des méridiens vers le 

 pôle, on ne commettra que rarement une 

 erreur de 2°. 



Il y aurait cependant un cas où les er- 

 reurs pourraient devenir plus considérables; 

 ce serait celui où l'on procéderait de manière 

 à en accumuler plusieurs : ce qui arriverait 

 par exemple si, au lieu de comparer direc- 

 tement un point à un autre, on le compa- 

 rait par l'intermédiaire d'un troisième, ainsi 

 qu'on peut le faire impunément lorsqu'on 

 opère sur un plan. En effet, on ajoute alors 

 à l'erreur qui résulterait de la distance des 

 deux points comparés, une quantité égale à 

 l'excès sphérique des trois angles du trian- 

 gle formé par les deux points comparés et 

 par le point intermédiaire, quantité qui 

 peut être additive aussi bien que sous- 

 tractive. 



Ceci s'éclaircira par quelques exemples. 

 Il s'agit, par exemple, de savoir quelle de- 

 vrait être l'orientation d'une ligne passant à 

 Bayreuth pour qu'elle fût parallèle à une 

 ligne passant au Binger-Loch , sur le Rhin , 

 au-dessous de Bingen , et dont l'orientation 

 est donnée. 



